Elipse 0001
Páginas: 12 (2912 palabras)
Publicado: 9 de mayo de 2015
CAPITULO 6
La elipse
DEFINICION. Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos
fijos es constante. Los puntos fijos se llaman jbcos.
IO'
3
Yf
1io.b)
x
.
3
Sean los dos puntos fijos F(c. O) y F'(-c, O) y 2a la suma constante, ( a
mos u n punto genérico P ( Y , I > ) que pertenezca al lugar. Por dcfinición,
F ' P f PF
_-
+
J(S +-c)"((v-O)*
es decir,--
2a,
-
-
t
J
(V--O)'
=
-,c).
Considere-
2a.
Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes,
(.y
Elevando
:iI
__
(I'
-
-a
d(Y -
cuadrado y cimplificando, (a2- c') sz
Dividiendo por d ( u L
Como a > ( . u'
elipse en la forma
-
<'
cz) \e obtiene la ecuación
+ a2P = d ( a 2- c').
Y2
a2
-t
Haciendo a2 -- c'
ea positivo
41
a%
o bien.
-t (1.' - O)'.
t
1'2
-h2
VL
a2
--
- ('2
--
I
h2, resulta la ecuación de la
=I,
+ a2y2= azh2.
hLY2
Como esta ecuación solo contiene potencias pares de Y e v, la curva es simétrica con
respecto a los ejes de coordenadas 8 e y, y con respecto al origen. El punto O es el centro
de la elipse y los ejes se deiioininan CILJInaj'or y ejc menor.
SI lo\ focos fueran los puntos de coordenadas (O, c) y (O, -c), el ejemayor estaría sobre
el eje
-Y.
c o n lo que la ecuación resulta de la forma
51
y2
hz
4
)'2
'
a2
=
1.
"*
LA €L.IPSC
52
Como la elipse tiene dos focos, también tendr5 dos directrices Las ecuaciones de las
directrices D'D'y D D son, re\pectivamentc,
Si los focos estuvieran sobre el eje
I,
lar ccuaciones dc las directricer serian
Se denomina íírtirr reciim de la elipse
2hl
de losfocos. Su longitud es
;
i
la cuerda perpendicular al eje mayor por uno
Cl
Los puntos en los cuales la ciipsc corta al eje mayor se llaman vr;rt/cpc.
Si el centro de la elipse e\ el punto (11, I ; ) y el eje mayor tiene la dirección del eje
ecuación de la elipw es de la forma
o bien,
al eje
J'.
En cualquier caso. la forma general de la ecuación de la elipse es
A\'
-1
NLJ
-1
DY
1
L-) I F=
o
siempre que A y B sean del mismo signo.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Dada la e l i p e 9 \ '
1 6 j L 576, hallar el seniiele niayor, el semiejc riicnoi, la exccritr icidíid, las coordenada5
de los focos, lac ecuacioiic5 de las directricet y la longitud del latirr t e c t i r r i i
Dibidieiido por 576 seíieiie
\L
64
-
1'
- = I . Luego
36
Coordenada(, d c lo< focos ( 2 7.~O ) 4 ( 2v'7. O).La\ ecuacioiies de las ciiiectiice\ wii
Y,
la
L A LLIPSE
2.
Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen. foco en el punto (O, 3) y semieje mayor igual a 5
Datoi: c
=
3yn
=-
5. Por consiguiente, h
y2
Y2
Aplicando la fórmula - i--h2
n2
3.
53
=
= t'i-
_-
c2 -
25-9
\
Y2
I , ?e obtiene la ecuación
16
=
y 2
+
25
4.
-
I.
Hallar la ecuación de la elipse de centro elorigen, eje mayor sobre el eje x y que pase por los puntos
(4, 3) Y (6, 2).
,Y2
La fórmula a aplicar es a2
dados se obtiene,
16
2a
+ -+
= I.
b2
y2
9
36
+= I y ____ +
b2
8
Sustituyendo x e y por las coordenadas de los puntos
4
b2
- = I . Resolviendo este sistema de ecuaciones, n2 =
52,
b' = 13.
Luego la ecuación pedida es
4.
x2
--
52
+= 1, o bien, x2 + 4y2 = 52.
13
y2
Hallar la ecuacióndel lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, O) es igual a la
mitad de la correspondiente a la recta x - 16 = O.
Del enunciado del problema se deduce,
Simplificando, se obtiene la ecuación 3 2
+ 4y2 = 192, de la elipse
5. Se considera un segmento AB de 12 unidades de longitud y un punto P(x, JJ) situado sobre él a 8 uni.
dades de A. Hallar el lugar geométrico de P cuando elsegmento se desplace de forma que los puntos A y B se apoyen constantemente sobre los ejes de coordenadas y y .Y respectivamente.
-
MA
Por triángulos semejantes,
AP
--
4'
PB
, o sea,
1
64 - 2
8
__
y
._
4'
Luego 64 - x2 = 4y2, o bien, x2 -t 4y2 = 64. El lugar es una elipse con su centro en el origen
y de eje mayor sobre el eje s.
x
6.
Hallar la ecuació del lugar geométrico de los...
La elipse
DEFINICION. Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos
fijos es constante. Los puntos fijos se llaman jbcos.
IO'
3
Yf
1io.b)
x
.
3
Sean los dos puntos fijos F(c. O) y F'(-c, O) y 2a la suma constante, ( a
mos u n punto genérico P ( Y , I > ) que pertenezca al lugar. Por dcfinición,
F ' P f PF
_-
+
J(S +-c)"((v-O)*
es decir,--
2a,
-
-
t
J
(V--O)'
=
-,c).
Considere-
2a.
Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes,
(.y
Elevando
:iI
__
(I'
-
-a
d(Y -
cuadrado y cimplificando, (a2- c') sz
Dividiendo por d ( u L
Como a > ( . u'
elipse en la forma
-
<'
cz) \e obtiene la ecuación
+ a2P = d ( a 2- c').
Y2
a2
-t
Haciendo a2 -- c'
ea positivo
41
a%
o bien.
-t (1.' - O)'.
t
1'2
-h2
VL
a2
--
- ('2
--
I
h2, resulta la ecuación de la
=I,
+ a2y2= azh2.
hLY2
Como esta ecuación solo contiene potencias pares de Y e v, la curva es simétrica con
respecto a los ejes de coordenadas 8 e y, y con respecto al origen. El punto O es el centro
de la elipse y los ejes se deiioininan CILJInaj'or y ejc menor.
SI lo\ focos fueran los puntos de coordenadas (O, c) y (O, -c), el ejemayor estaría sobre
el eje
-Y.
c o n lo que la ecuación resulta de la forma
51
y2
hz
4
)'2
'
a2
=
1.
"*
LA €L.IPSC
52
Como la elipse tiene dos focos, también tendr5 dos directrices Las ecuaciones de las
directrices D'D'y D D son, re\pectivamentc,
Si los focos estuvieran sobre el eje
I,
lar ccuaciones dc las directricer serian
Se denomina íírtirr reciim de la elipse
2hl
de losfocos. Su longitud es
;
i
la cuerda perpendicular al eje mayor por uno
Cl
Los puntos en los cuales la ciipsc corta al eje mayor se llaman vr;rt/cpc.
Si el centro de la elipse e\ el punto (11, I ; ) y el eje mayor tiene la dirección del eje
ecuación de la elipw es de la forma
o bien,
al eje
J'.
En cualquier caso. la forma general de la ecuación de la elipse es
A\'
-1
NLJ
-1
DY
1
L-) I F=
o
siempre que A y B sean del mismo signo.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.
Dada la e l i p e 9 \ '
1 6 j L 576, hallar el seniiele niayor, el semiejc riicnoi, la exccritr icidíid, las coordenada5
de los focos, lac ecuacioiic5 de las directricet y la longitud del latirr t e c t i r r i i
Dibidieiido por 576 seíieiie
\L
64
-
1'
- = I . Luego
36
Coordenada(, d c lo< focos ( 2 7.~O ) 4 ( 2v'7. O).La\ ecuacioiies de las ciiiectiice\ wii
Y,
la
L A LLIPSE
2.
Hallar la ecuación de la elipse de centro el origen. foco en el punto (O, 3) y semieje mayor igual a 5
Datoi: c
=
3yn
=-
5. Por consiguiente, h
y2
Y2
Aplicando la fórmula - i--h2
n2
3.
53
=
= t'i-
_-
c2 -
25-9
\
Y2
I , ?e obtiene la ecuación
16
=
y 2
+
25
4.
-
I.
Hallar la ecuación de la elipse de centro elorigen, eje mayor sobre el eje x y que pase por los puntos
(4, 3) Y (6, 2).
,Y2
La fórmula a aplicar es a2
dados se obtiene,
16
2a
+ -+
= I.
b2
y2
9
36
+= I y ____ +
b2
8
Sustituyendo x e y por las coordenadas de los puntos
4
b2
- = I . Resolviendo este sistema de ecuaciones, n2 =
52,
b' = 13.
Luego la ecuación pedida es
4.
x2
--
52
+= 1, o bien, x2 + 4y2 = 52.
13
y2
Hallar la ecuacióndel lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, O) es igual a la
mitad de la correspondiente a la recta x - 16 = O.
Del enunciado del problema se deduce,
Simplificando, se obtiene la ecuación 3 2
+ 4y2 = 192, de la elipse
5. Se considera un segmento AB de 12 unidades de longitud y un punto P(x, JJ) situado sobre él a 8 uni.
dades de A. Hallar el lugar geométrico de P cuando elsegmento se desplace de forma que los puntos A y B se apoyen constantemente sobre los ejes de coordenadas y y .Y respectivamente.
-
MA
Por triángulos semejantes,
AP
--
4'
PB
, o sea,
1
64 - 2
8
__
y
._
4'
Luego 64 - x2 = 4y2, o bien, x2 -t 4y2 = 64. El lugar es una elipse con su centro en el origen
y de eje mayor sobre el eje s.
x
6.
Hallar la ecuació del lugar geométrico de los...
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