ENFRIAMIENTO DE NEWTON


INSTITUTO TECNOLÓGICO DE SALTILLO




BEYRA CRISTELL BADILLO DIAZ

ECUACIONES DIFERENCIALES


“CRECIMIENTO POBLACIONAL, ENFRIAMIENTO Y CIRCUITOS ELECTRICOS”.




ISMAEL LUEVANO MARTINEZ.
11/04/15
8-9 HRAS.














ENFRIAMIENTO DE NEWTON
La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en tránsito, debido a una diferencia detemperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc.
Experimentalmente se puede demostrar y bajo ciertas condiciones obtener una buena aproximación a la temperatura de unasustancia usando la Ley de Enfriamiento de Newton. Esta puede enunciarse de la siguiente manera:
La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya, entonces la ecuación diferencial de la ley deenfriamiento es:




Procediendo a la solución de la ecuación (1) y separando variables


Integrando cada miembro de la ecuación


Y por tanto la ecuación inversa es:






EJEMPLO.
Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80°C., se mide también la temperatura del medio la cual es de 20°C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos después se encuentra que el termómetro marca75°C. Se desea predecir la lectura del termómetro para varios tiempos posteriores, por lo tanto se requiere determinar la ecuación del enfriamiento en función de los valores dados.
Los datos indican que cuando t = 0.0; T = 80.0, y cuando t = 3.0 min., T = 75°C.

Así que bajo las condiciones dadas:

Cuando t = 0.0: T = 80.0

y transcurrido un cierto tiempo de enfriamiento

Cuando t = 3.0; T =75.0

De la ecuación, se sigue inmediatamente que debido a que la temperatura ambiente es igual a 20 °C. Entonces:

T = 20 + Ce-kt

Entonces; la condición nos indica que 80 = 20 + C y por lo tanto la constante de integración es: C = 60, de tal forma que tenemos que la ecuación anterior resulta:
T = 20 + 60e-kt

El valor de "k" será determinado ahora usando la condición. Haciendo t=3.0 y T=75 porlo que con la ecuación obtenemos.

75 = 20 + 60e-kt

Realizando el despeje correspondiente resulta que: e-kt = 0.917, ahora aplicando "ln" a la ecuación y despejando la constante de proporcionalidad cuando el tiempo es igual a 3.0 min. Resulta: k = - 1/3 ln 0.917 por lo tanto:

k = 0.02882602

Ya que ln 0.917 = - 0.0866, la ecuación puede reemplazarse por:

T = 20.0 + 60 e-0.02882602 t
Aque hora murió: Ley de enfriamiento de Newton
Modelo de Malthus Crecimiento poblacional
Fue al parecer Euler quien desarrolló los primeros modelos de población, pero comúnmente se atribuye a Malthus en el desarrollo y análisis del primer modelo de evolución de P .t /, según el cual.


Es decir, en cada instante la rapidez de cambio de la población es proporcional al total de la población presente.Por ejemplo, si P .t / > 0 y P .t / creciente, esto implica que k > 0. Resolvemos la ecuación diferencial:



Integrando se tiene:

C1





Ésta es la solución general de la ecuación diferencial.
Es común conocer la población inicial, P (0)=P0. Con esto podemos calcular la constante C:



Para calcular k es necesario conocer la cantidad de población existente en un tiempo t1 > t0, digamos P (t1)=P1:













EJEMPLO.
ENFRIAMIENTO DE UN PASTEL

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos, 2OO’F. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 7O”F?

SOLUCIÓN: En la ecuación (3) vemos que Tm= 70. Por consiguiente, debemos resolver el problema de valor inicial



Y determinar el valor de k de tal modo que T(3) = 200. La ecuación (4) es...