Ley de enfriamiento de newton

LEY de ENFRIAMIENTO de NEWTON
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INTRODUCCIÓN
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación, vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos ycada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en transito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica porejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a través de la determinación experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.
Experimentalmente se puede demostrary bajo ciertas condiciones obtener una buena aproximación a la temperatura de una sustancia usando la Ley de Enfriamiento de Newton. Esta puede enunciarse de la siguiente manera: La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es la misma ya sea que latemperatura aumente o disminuya, entonces la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento es:
(1)

Donde:
T = Temperatura de un cuerpo
t = tiempo
Tm = Temperatura del medio ambiente

Procediendo a la solución de la ecuación (1) y separando variables

(2)

integrando cada miembro de la ecuación

(3)

Obtenemos(4)

y por tanto la ecuación inversa es;

(5)

(6)
Si:
(7)

(8)

(9)

Ejemplo: Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80°C., se mide también la temperatura del medio la cual es de 20°C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos después se encuentra que el termómetro marca 75°C. se desea predecir lalectura del termómetro para varios tiempos posteriores, por lo tanto se requiere determinar la ecuación del enfriamiento en función de los valores dados.

Representemos por "T" (°C.) la temperatura marcada por el termómetro, al tiempo "t" (min.). Los datos indican que cuando t = 0.0; T = 80.0, y cuando t = 3.0 min., T = 75°C.

De acuerdo con la ecuación (9) de la ley de enfriamiento deNewton, la velocidad de variación de la temperatura con el tiempo, dT/dt, es proporcional a la diferencia de temperaturas (T - 20.0). Ya que la temperatura que marca el termómetro está decreciendo, entonces (-k) resulta la constante de proporcionalidad. Así "T" debe ser determinada de la ecuación diferencial, por lo tanto necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos tiempos diferentes,debido a que hay dos constantes que deben ser determinadas, "k" de la ecuación (1) y la constante de "integración" que se encuentra en la solución de la misma.

Así que bajo las condiciones dadas:

(10) cuando t = 0.0 ; T = 80.0

y transcurrido un cierto tiempo de enfriamiento

(11) cuando t = 3.0 ; T = 75.0

de la ecuación (9) se sigue inmediatamente que debido a que la temperaturaambiente es igual a 20 °C. entonces:
T = Ce-kt
Entonces; la condición (10) nos indica que 80 = 20 + C y por lo tanto la constante de integración es: C = 60, de tal forma que tenemos que la ecuación anterior resulta:

(12) T = 20 + 60e-kt

El valor de "k" será determinado ahora usando la condición (11). Haciendo t = 3.0 y T = 75 por lo que con la ecuación (12) obtenemos

(13) 75 =...