Ensayo de dureza

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LEY DE HOOKE Y OSCILACIONES ELÁSTICAS

OBJETIVOS • Determinación de la constante elástica de un muelle, k, mediante la aplicación de la ley de Hooke. • Determinación de k a partir de las oscilaciones elásticas. • Comparación de los resultados proporcionados por ambos métodos. MATERIAL • • • • Soporte con muelle y regla milimetrada Portapesas Juego de pesas Cronómetro

FUNDAMENTO TEÓRICOEstudio estático Cuando se obliga a un cuerpo a cambiar de forma, la fuerza deformadora es proporcional a la deformación, siempre que no se sobrepase el límite de proporcionalidad. La variación puede consistir en un aumento de longitud, como en el caso de un resorte en hélice; en una disminución; en una flexión, si se trata de un resorte plano; en la torsión de una banda alrededor de su eje, o enmuchas otras formas. La expresión fuerza deformadora se interpreta en un sentido amplio y puede referirse a una fuerza, a un par, a una presión o cualquier otra causa capaz de producir la deformación. Si restringimos el estudio al de una tracción o un empuje, en cuyo caso la deformación es simplemente el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza, ésta y el desplazamiento estánrelacionadas por la ley de Hooke: F = k ∆y [1]

siendo k la constante recuperadora y ∆y el desplazamiento. La Figura 1 (a) muestra un resorte helicoidal de constante recuperadora k. Si se suspende del resorte un cuerpo de masa m, como en la Fig. 1 (b), existe una fuerza hacia abajo mg además de la fuerza ejercida por el muelle − ky0 , en donde se supone que y0 se mide hacia abajo desde la posición sindeformar del muelle. En esta posición de equilibrio se cumple: ky0 = mg → y0 = g m k [2]

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Técnicas experimentales en Física General

Estudio dinámico Supongamos ahora que el cuerpo se desplaza a una distancia y’ de su posición de equilibrio, como en la Fig. 1 (c), y por lo tanto cuando se abandone se oscilará arriba y abajo. La segunda ley de Newton se escribe:

Figura 1.- Objetocolgado de un muelle elástico vertical. (a) Posición de equilibrio sin masa. (b) Posición de equilibrio con masa m : el muelle se alarga una longitud y 0 = mg / k . (c) La masa se desplaza de la posición de equilibrio indicada en b) en una cantidad y ′ = y − y 0 , se abandona y oscila alrededor de esa posición de equilibrio con un periodo T .

m

d2y = −ky + mg dt 2

[3]

Como y = y′ + y0, sustituyendo en la ecuación [3]: m d 2 ( y′ + y0 ) = −k ( y ′+ y0 ) + mg dt 2 [4]

Teniendo en cuenta de la ecuación [2] que ky 0 = mg y que la derivada de una constante es nula, resulta: m cuya solución es: y′ = A cos(ωt + δ ) = Acos( 2π t+δ ) T [6] d 2 y′ = − ky′ dt 2 [5]

Ley de Hooke y oscilaciones elásticas

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Así pues, el objeto oscila alrededor de esta posición de equilibriocon un periodo igual al del caso del mismo objeto sujeto a un muelle horizontal:

2π m 4π 2 2 T= = 2π →T = m ω k k

[7]

que, como se ve, depende de la masa que oscila, m, y de la constante elástica, k, siendo independiente de la amplitud de la oscilación (que debe ser pequeña). REALIZACION Estudio estático De la ecuación [2] se deduce que se puede hallar la constante elástica k del muelle si,sujeto éste por un extremo, se colocan distintas masas m en el otro y se estudia el alargamiento producido en el muelle para cada masa. Se procede, pues, de la siguiente manera: 1. Se elige el rango de masas adecuado que se va a poner en el portapesas ( 0, mmax ). Este rango ha de ser tal que la elongación sea pequeña y así estar siempre dentro del límite elástico del muelle. 2. Se coloca la masammax en el portapesas y se anota el valor de la elongación para esa pesa ( ymax ). 3. Se eligen 8 valores de la masa uniformemente distribuidos entre 0 y mmax , y para cada una de ellas se mide el alargamiento producidos, yi . 4. Se anota los datos en una tabla y se realiza la representación gráfica de la elongación en función de la masa. 5. Se realiza un ajuste de los datos a una recta por...