Ensayo de estadistica

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Integrales dobles en coordenadas polares
Mateo Sacaquirín García
Las integrales dobles de forma polar se las desarrolla de esta forma debido a que al cambiar de coordenadas facilita la manera deintegrar la región R.
La integral doble maneja los mismos conceptos de partición de n rectángulos que se daba al integrar regiones en forma cartesiana.

En coordenadas polares se cuenta con un “rectángulopolar”, cuyos lados se encuentran definidos por el radio r y el ángulo θ.
Se tiene a R como una rejilla limitada por los rayos θ= α y θ= β y las circunferencias de lado r = a y r =b.
Se determina a∆ como la partición de la región en triángulos curvados y la norma de partición.
Si consideramos a n como la cantidad de subregiones y ∆iA como el área del i – ésimolim rectángulo curvado. Manejamos elhecho de que el área de la i – ésima subregión es la diferencia que hay entre las áreas de dos sectores circulares:
∆iA=12ri2 θi-θi-1- 12ri-12 θi-θi-1
∆iA=12ri-ri-1ri+ri-1θi-θi-1
Sustituyendo ri =12ri-ri-1, ∆ir= ri-ri-1, ∆iθ= θi-θi-1
∆iA= ri ∆ir ∆iθ

Contabilizamos los rectángulos que se tienen dentro de R y procedemos a denominar a sus áreas como:
∆A1 , ∆A2 ,…..∆An , siendo ri,θicualquier punto en el rectángulo polar cuya área es ∆Ai ,
Se obtiene la suma:
i=1nf(ri,θi) ∆iA , al sustituir

inf(ri, θi)ri ∆ir ∆iθ
Al ser f continua en la región R, el límite de esta suma al ir ∆tendiendo a 0 se puede considerar como la doble integral de f en R.
lim∆→0i=1nf(ri,θi) ∆iA= Rf(r, θ)dA

lim∆→0i=1nf(ri,θi) ri ∆ir ∆iθ= Rfr, θrdrdθ
La integral doble en coordenadas polares puededefinirse en regiones cerradas por lo que sus límites a considerar serán:
θ=αg2(θ θ=β g2(θ)fr, θr dr dθ

Pudiendo considerarse esta expresión como el volumen de un sólido.

Ejercicios propuestos:

En losejercicios cambie la integral cartesiana por una integral polar equivalente. Luego evalúe la integral polar.
5.-
-a a2-x2 a a2-x2 dy dx...
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