Enteros

Fundamentos de la Matem´ tica
a
Apuntes de clase
Preparado por JC Trujillo O.
Septiembre 2010 - Enero 2011

Cap´tulo 4
ı

Relaciones de equivalencia
1 Relacion en una clase. Sea A una clase. La clase G es una relaci´ n en A si y solo si
´
o
G ⊆ A × A.
2

Algunos tipos de relaciones.

´
D EFINICI ON 4.1. Sean A una clase y G una relaci´ n en A.
o
1. G es reflexiva si y solo sipara todo x ∈ A, se tiene

( x, x ) ∈ G.
2. G es sim´ trica si y solo si de ( x, y) ∈ G se deduce (y, x ) ∈ G.
e
3. G es transitiva si y solo si de ( x, y) ∈ G y (y, z) ∈ G, se deduce ( x, z) ∈ G.
4. G es anti-sim´ trica si y solo si de ( x, y) ∈ G y (y, x ) ∈ G se deduce x = y.
e

3 Relacion de equivalencia. Una relacion G en una clase A es de equivalencia si y solo si
´
´
esreflexiva, sim´ trica y transitiva.
e
3.1 Ejemplo. Vamos a admitir conocido el conjunto de los numeros enteros Z y el si´
guiente resultado:
T EOREMA 4.1 (Teorema de la division). Si a ∈ Z y b ∈ Z con b > 0, existen q ∈ Z y r ∈ Z,
´
unicos, tales que
´
a = qb + f
con 0 ≤ r < b.
Tambi´ n recu´ rdese que si x ∈ Z y y ∈ Z, se dice que x divide a y, y se escribe x | y, si y
e
e
solo si existe k ∈ Ztal que y = kx.
Definamos el conjunto G de la siguiente manera:
G = {( x, y) ∈ Z × Z ) : 5 | (y − x )}
Por ejemplo, (2, 7) ∈ G, pues 5 | (7 − 2), ya que 7 − 2 = 5; en cambio, (3, 5) ∈ G.
Probemos que G es una relacion de equivalencia en Z. Para ello, debemos mostrar que
´
G es reflexiva, sim´ trica y transitiva.
e

38

Demostraci´ n.
o
1. G es reflexiva. Sea x ∈ Z; hay que demostrarque ( x, x ) ∈ G; es decir, hay que demostrar que
5 | ( x − x ).
Ahora bien, puesto que 0 = 5 × 0, tenemos que 5 | 0; es decir, 5 | ( x − x ).
2. G es sim´ trica. Supongamos que ( x, y) ∈ G; probemos que (y, x ) ∈ G; es decir, demostremos que
e
5 | ( x − y ).
De la hipotesis, tenemos que 5 | (y − x ); es decir, existe k ∈ Z tal que
´
y − x = 5k;
por lo tanto, x − y = 5(− k) = 5m, donde m =− k ∈ Z; es decir, 5 | ( x − y), que es lo que se quer´a
ı
demostrar.
3. G es transitiva. Supongamos que ( x, y) ∈ G y (y, z) ∈ G; probemos que ( x, z) ∈ G; es decir,
demostremos que 5 | (z − x ).
De las hipotesis, 5 divide a y − x y a z − y; es decir, existen k1 ∈ Z y k2 ∈ Z tales que
´
y − x = 5k1

y

z − y = 5k2 .

De estas dos igualdades obtenemos que

(y − x ) + (z − y) = z − x =5k1 + 5k2 = 5(k1 + k2 ) = 5k
con k = k1 + k2 ∈ Z; es decir, 5 divide a z − x, que es lo que se quer´a demostrar.
ı

3.2 Ejemplo. Sean ( E, +, ·, R ) un espacio vectorial real, F un subespacio vectorial de E y
G = {( x, y) ∈ E × E : y − x ∈ F }.
Probemos que G es una relacion de equivalencia en E.
´
Demostraci´ n.
o
1. G es reflexiva. Sea x ∈ E; vamos a probar que ( x, x ) ∈ G; es decir,vamos a probar que x − x ∈ F.
Como x − x = 0 y 0 ∈ F —al ser un subespacio vectorial de E, tiene al vector 0 como un
elemento—, por el axioma de extension, tenemos que x − x ∈ F.
´
2. G es sim´ trica. Supongamos que ( x, y) ∈ G; probemos que (y, x ) ∈ G; es decir, demostremos que
e
x − y ∈ F.
De la hipotesis, tenemos que y − x ∈ F. Ahora bien, como −1 ∈ R y F es un subespacio
´
vectorial(la multiplicacion por un escalar es cerrada), tenemos que
´

(−1)(y − x ) ∈ F;
y, como x − y = (−1)(y − x ), por el axioma de extension, concluimos que x − y ∈ F.
´
3. G es transitiva. Supongamos que ( x, y) ∈ G y (y, z) ∈ G; vamos a demostrar que ( x, z) ∈ G; es
decir, vamos a probar que (z − x ) ∈ F.
De las hipotesis, tenemos que
´

(y − x ) ∈ F y (z − y) ∈ F.
Como F es unsubespacio vectorial, la suma es cerrada; entonces, gracias al axioma de extension,
´
tenemos que
z − x = (z − y) + (y − x ) ∈ F,
que es lo que se quer´a demostrar.
ı

39

3.3 Ejemplo. El conjunto
G = {((m1 , m2 ), (n1 , n2 )) ∈ (ω × ω ) × (ω × ω ) : m1 + n2 = m2 + n1 }
es una relacion de equivalencia en ω × ω.
´
Demostraci´ n.
o
1. G es reflexiva. Sea (m1 , m2 ) ∈ ω × ω; probemos que...