Enunciado examen estadística ade

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ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA Examen Primer Parcial (Mayo 2010) - Duración: 1 hora 45 minutos APELLIDOS: ...................................................NOMBRE:.......................... LICENCIATURA:.............................................GRUPO:............................ NOTA: Al dorso de los enunciados se adjunta una tabla con resultados obtenidos con Excel; si necesitasalgún resultado de Excel que no encuentras en esta tabla, indica cuál es el comando de Excel que utilizarías para obtenerlo. Pregunta 1: a) (0.75 puntos) Si llamamos S 2 a la varianza muestral de una muestra aleatoria simple (m.a.s.) de una variable aleatoria (v.a.) X con varianza σ 2 , demuestra que S 2 es un estimador insesgado de σ 2 . b) Sean P1t , ..., Pnt los precios de n bienes en elperiodo actual t, y Q1t , ..., Qnt las cantidades correspondientes; sean P10 , ..., Pn0 los precios de estos n bienes en el periodo base 0, y Q10 , ..., Qn0 las cantidades correspondientes. Se quiere comparar el nivel de los precios en periodo actual con el nivel de los precios en el periodo base. b1) (0.25 puntos) Describe cuál es el índice media agregativa ponderada que se obtiene tomando comocoeficientes de ponderación las cantidades de cada bien en el periodo base; ¿qué nombre recibe este índice? b2) (0.25 puntos) Describe cuál es el índice media agregativa ponderada que se obtiene tomando como coeficientes de ponderación las cantidades de cada bien en el periodo actual; ¿qué nombre recibe este índice? Pregunta 2: Se ha observado la duración (en horas) de 200 bombillas fabricadas por unaempresa y se ha obtenido la siguiente tabla: Duración 5 − 15 15 − 25 25 − 55 Número de bombillas. Frecuencia Absoluta Acumulada 50 N1 130 n2 N3 n3

a) (0.25 puntos) Determina n2 , n3 , N1 y N3 . b) (0.5 puntos) Calcula la ordenada que corresponde al punto de abscisa 12 en el histograma de densidad relativa. c) (1 punto) Calcula una medida de dispersión absoluta y una medida de dispersión relativa. d)(0.5 puntos) ¿Qué valores habrías obtenido en el apartado anterior si la duración de las bombillas se hubiese medido en minutos?

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Pregunta 3: Las notas de los estudiantes de Matemáticas de un curso siguen una distribución normal con media 5 y varianza 0.96. Disponemos de una muestra aleatoria simple (m.a.s.) de las notas de 6 estudiantes. Calcula: a) (0.5 puntos) La probabilidad de que lamedia muestral de las notas esté entre 4.8 y 5.1. b) (0.75 puntos) La probabilidad de que la varianza muestral de las notas sea superior a 0.24. c) (0.75 puntos) El valor de k para el cual se cumple que P (S 2 > k) = 0.9, siendo S 2 la varianza muestral. Pregunta 4: El número de intervenciones que debe realizar un parque de bomberos en un periodo es una variable aleatoria (v.a.) discreta X confunción de cuantía f (0) = θ/2, f (1) = 1 − 2θ, f(2) = 3θ/2, siendo θ un parámetro desconocido, con 0 < θ < 1/2. Para estimar θ se dispone de una m.a.s. de X de tamaño n. a) (0.5 puntos) Calcula el estimador de momentos de θ utilizando el momento de segundo orden. b) (1 punto) Calcula el error cuadrático medio del estimador obtenido en el apartado anterior. c) (0.5 puntos) Calcula el estimador demáxima verosimilitud de θ. d) (0.5 puntos) Analiza si el estimador de máxima verosimilitud de θ es insesgado. Pregunta 5: ¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justifica tu respuesta. a) (1 punto) Se dispone de los salarios mensuales (en miles de euros) de los 3 empleados de la empresa A y de los 3 empleados de la empresa B: Empresa A Empresa B Empleado 1 0.9 0.8 Empleado 2 1.1 1Empleado 3 1.4 1.2 De estos datos se deduce que el reparto de los salarios es más igualitario en la empresa A que en la empresa B. b) (1 punto) Si X1 , ..., Xn es una m.a.s. de tamaño n = 400 de una v.a. X con media μ y desviación típica 2, entonces la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y μ sea superior a 0.1 es aproximadamente igual a 0.6915.

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