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SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN - Espacios Vectoriales.
A) Soluciones a las Cuestiones
Sol. C-1) a) Sí, por ejemplo el eje X, formado por los vectores de la forma (λ, 0), que se identificarían con el número real λ . También valdría el eje Y, o cualquier otra recta que pase por el origen. (Al ser de dimensión 1, una recta se puede identificar con ℜ , que también es de dimensión 1). b) No esposible, pues ℜ 2 tiene dimensión 2, y no puede contener un espacio que “se parezca” a ℜ 3, pues éste tendría dimensión 3. Un espacio de dimensión 3 no puede estar contenido en otro de dimensión 2. Sol. C-2) Hay muchas posibilidades; estos son sólo algunos ejemplos: las matrices de la forma

b a b   a b   a b   a a   a 2a   a b   a  ,  ,  ,  ,   ,  ,   , etc.  2b c   ca   a a   3a 4a   2a 2b   b + c c   c a + b + c 
Sol. C-3) Utilizamos la fórmula dim S + dim T = dim(S+T) + dim(S∩T).

a) El primer miembro de la igualdad es 2+3, por tanto el segundo miembro ha de sumar también 5, así que las posibilidades son:
● ● ●

dim(S+T) = 5 , dim(S∩T) = 0 dim(S+T) = 4 , dim(S∩T) = 1 dim(S+T) = 3 , dim(S∩T) = 2

No hay más posibilidades. No sería correcto“dim(S+T) = 2 y dim(S∩T) = 3” porque la suma ha de ser “más grande” que S y que T, y la intersección ha de ser “más pequeña” que S y que T. b) Ahora las posibilidades son:
● ●

dim(S+T) = 4 , dim(S∩T) = 1 dim(S+T) = 3 , dim(S∩T) = 2

es decir, las mismas que en a) excepto la primera. No sería posible dim(S+T) = 5 porque estamos en ℜ 4, así que no puede haber un subespacio de dimensión 5.Sol. C-4) Como en la cuestión anterior, dim S + dim T = dim(S+T) + dim(S∩T).

Ahora S y T son planos, por tanto ambos de dimensión 2, así que el 2º miembro ha de sumar 4, lo que nos da las posibilidades:
● ●

dim(S+T) = 2 , dim(S∩T) = 2 (plano) dim(S+T) = 3 , dim(S∩T) = 1 (recta)

No hay más posibilidades. No es correcto “ dim(S+T) = 4 y dim(S∩T) = 0 “ porque estamos en ℜ 3, así que no puedehaber un subespacio de dimensión 4. Por tanto, en ninguna de las posibilidades S∩T es un punto (que sería de dimensión 0).

Neila Campos

ÁLGEBRA LINEAL

Espacios Vectoriales - Autoevaluación.

2 Sol. C-5) a) Es fácil, porque prácticamente tres vectores cualesquiera en ℜ (a no ser que los 3 estén alineados) van a tener rango 2. Por ejemplo,

u=(1,0), v=(0,1), w=(1,1)

su rango es 2.Se puede suprimir uno cualquiera de ellos y el rango sigue siendo 2. b) Habría que poner 2 vectores que sean linealmente dependientes entre sí, p. ej. u=(1,0) , v=(2,0) , y otro que sea independiente de ellos: p.ej. w= (1,1) . Este conjunto tiene rango 2. Así, quitando u se conserva el rango; quitando v también; pero no podemos quitar w porque entonces el rango disminuye.

Sol. C-6) a) No,porque nunca pueden ser independientes más vectores de lo que indica la dimensión. b) No, pues nunca pueden ser sistema generador menos vectores de lo que indica la dimensión.

Sol. C-7) Sí, porque si u, v son linealmente independientes, como sólo son 2 vectores, significa que uno no es múltiplo del otro. Entonces 2u y 3v tampoco pueden ser uno múltiplo del otro. (Imagina que 2u fuese múltiplo de 3v, p.ej. 5 veces: 2u = 5ּ3v, entonces despejando tendríamos u = 15 v , y no puede ser porque u y v eran independientes). 2

Sol. C-8) Cierto, pues el conjunto independiente siempre tiene un número de vectores menor o igual que la dimensión del espacio, mientras que el sistema generador siempre tiene un número de vectores mayor o igual que la dimensión del espacio.

Sol. C-9) a) La base { (0,1), (1,0) } , es decir, la canónica pero con los vectores en orden contrario. Así claramente (1,2) = 2 ּ (0,1) + 1 ּ(1,0). b) La base { (–1,0), (0,–1)} , es decir, la canónica pero con los vectores cambiados de signo. Así claramente (1,2) = (–1) ּ (–1,0) + (–2) ּ (0,–1) c) No es posible. En cualquier base, las coordenadas (0,0) son exclusivas del vector nulo.

Sol. C-10) a) No, por no ser...