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Práctico 0: Probabilidades

Teoría

La Probabilidad es la disciplina científica que estudia los fenómenos de azar. El modelo que se utiliza para tratar los experimentos aleatorios consta de tres elementos: espacio muestral, sucesos y probabilidad. La probabilidad de un suceso (una idealización de la frecuencia relativa) es un valor entre cero y uno que verifica que el espacio muestralsiempre tiene probabilidad uno y tal que la probabilidad de que ocurra uno u otro de dos sucesos incompatibles es la suma de sus probabilidades. Espacios equiprobables son aquellos en los que todos los resultados tienen la misma probabilidad de aparecer; en ellos, la probabilidad de cualquier suceso se calcula mediante la regla de Laplace, dividiendo casos favorables entre casos posibles.
Lasvariables aleatorias son valores numéricos que corresponden al resultado de un experimento aleatorio. La función de probabilidad expresa la distribución de una variable aleatoria discreta y la función de densidad, la de una variable continua. Las características de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria pueden resumirse utilizando cantidades como media o valor esperado, la desviacióntípica, la mediana o el rango intercuartílico.
Las distribuciones más importantes de variables aleatorias discretas están asociadas a ensayos que se repiten de forma independiente y en los que solo pueden ocurrir dos resultados: uno de ellos (que suele denominarse éxito), con probabilidad p y el otro con probabilidad 1-p. La distribución de Bernoulli expresa el número de éxitos en un ensayo, labinomial proporciona el número de éxitos en n ensayos y la geométrica, el instante en que aparece el primer éxito. La distribución de Poisson surge en el estudio de los llamados sucesos raros, y refleja la cantidad de dichos sucesos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o en una cierta región prefijada.
Entre las continuas, la variable x con distribución uniforme entre a y b (U(a,b))representa un punto elegido al azar entre dos valores a y b. El valor esperado de la variable es el punto medio entre a y b. La distribución exponencial con parámetro λ(exp(λ)) expresa el tiempo de funcionamiento de una pieza o el tiempo de espera hasta que se produce cierto suceso. La media y la desviación típica coinciden y su valor es el inverso del parámetro.
La Normal es la más importante de lasdistribuciones continuas; depende de dos parámetros m y σ, que son su media y su desviación típica. La densidad con forma de campana es simétrica con respecto a la media, alrededor de la cual se concentra la mayor parte de la probabilidad. Las transformaciones lineales de variables normales independientes tienen también distribución normal. La distribución normal estándar sirve para aproximar sumastipificadas a variables independientes; en particular, variables binomiales tipificadas. La distribución logarítmico-normal se obtiene transformando la normal, su densidad es asimétrica a la derecha y sirve de modelo a variables como ingreso o gasto.



Ejercicios Resueltos:

1- Se lanza cuatro veces una moneda.
a) ¿Cuál es el espacio muestral para este experimento? ¿Cuántos elementos quetiene?
b) Escribir los elementos del suceso A = salen al menos dos caras.
c) Hallar los elementos del suceso B = aparecen exactamente tres secas.
d) ¿Son incompatibles los sucesos A y B? Dar dos ejemplos de sucesos C y D que sean incompatibles con B.
e) Escribir los elementos de los sucesos “A y B”,” A o B”, y “no ocurre A”.

Resolución:
a) E= {cccc, cccs, ccsc, ccss, cscc, cscs, cssc,csss, sccc, sccs, scsc, scss, sscc, sscs, sssc, ssss} y tiene 16 elementos.
b) A={cccc, cccs, ccsc, ccss, cscc, cscs, cssc, sccc, sccs, scsc, sscc}
c) B={sssc, sscs, scss, csss}
d) Los sucesos A y B son incompatibles, es decir, no tienen ningún elemento en común. Suceso C= salen únicamente una cara. Suceso D= aparecen exactamente 4 secas.
e) A y B = {}
A o B = {cccc, cccs, ccsc, ccss, cscc,...