Escarcega

* Aplicaciones de la Derivada
Aplicaciones en la Física.
Ejemplo 1.-
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.

2 La velocidad instantánea en t = 1.

Ejemplo 2.-
Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducciónhasta pasados dos meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:
1. Verificar que la población es función continua del tiempo.

2. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4].

3. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

Aplicación en la vida cotidiana.Ejemplo 1.-
La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:
C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2. Determinar los períodos de tiempo en el que las accionessubieron o bajaron.

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

Ejemplo 2.-
Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
r = 300t − 300t²
r′ = 300 − 600t
300 − 600t = 0 t = ½

2. ¿En quémomentos el rendimiento es nulo?
300t (1−t) = 0 t = 0 t = 1
El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).
3. ¿Cuando se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
r″ (t) = − 600
r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75
Rendimiento máximo: (½, 75)

Ejemplo 1.-

Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula:R(x)=-0.002x2+0.8x-5

Donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierta cierta cantidad (x).

Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nosda el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 , 
 
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, unomuy mecánico:
                   F

| | | |
| | | |

                   F’               +       200    -
Se toma un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0
 
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y F es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que enese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2+0,8.200-5 = 75 euros.

Ejemplo 2.-

La suma de dos números no negativos es 36.

Halla dichos números para que: 

a) La suma de sus cuadrados sea lo más pequeñaposible 

b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo más grande posible

Solución

Sea x e y dichos números, se tiene x + y = 36, de donde y = 36-x

a) Definimos f(x, y)= x2+ y2, como y= 36 –x, podemos sustituir en f con lo q dependerá solo de una variable, f(x) = x2+(36-x)2,  y podremos aplicar la condición necesaria de extremo para funciones derivables.
Derivando:
f’(x) = 2x-2(36-x),...