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Uso de las cadenas de Márkov

De las cadenas de Márkov. Derivación de las matrices de transición. Modelo de Márkov para la gestión en edificios.

De las cadenas de Márkov
El matemático ruso Andréi A. Márkov (1856 – 1922), es el autor de una teoría sobre procesos aleatorios que se generan en cadena. Se trata de secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de lavariable en el futuro, depende del valor de la variable en el presente, pero es independiente de la historia de dicha variable. Estos procesos reciben la denominación de cadenas de Márkov. Entre sus diversos usos en el campo de la ingeniería civil, destaca su empleo en la predicción del deterioro de infraestructura (vías o puentes, por ejemplo), el mismo que debe transcurrir por diferentes estados desdeun momento dado. Así, el agrietamiento del pavimento –expresado en m2, digamos- pasa por los estados leve, moderado, severo (u otra clasificación). El tránsito de un estado a otro, se entiende como un paso. Así, para llegar a severo, debe estar en moderado (no importando su historia previa). Esta es una característica fundamental en este tipo de cadenas, a tal punto que se le reconoce como lapropiedad Márkov.

Referencia
AMS. Chapter 11. Markov Chains. 1999. American Mathematical Society. Books Online. http://ams.org/online_bks/ ♦ Entendiendo el proceso

El proceso se entiende como sigue. Sea un conjunto de estados S={s1, s2, …,sr}. El proceso comienza en uno de esos estados, y se mueve sucesivamente de un esto a otro. Cada movimiento es un paso. Si la cadena está actualmente enel estado si, se mueve hacia el estado sj con la probabilidad pij (que no depende de los estados de la cadena antes del estado actual). Los valores pij se denominan probabilidades de transición. Cuando el estado no cambia, la probabilidad es pii. El proceso requiere de una probabilidad inicial correspondiente al estado de partida Si. ♦ Matriz de transición

Considérese el siguiente arreglomatricial de las probabilidades de transición, para tres estados. ????11 ????12 ????13 [????] = �????21 ????22 ????23 � ????31 ????32 ????33 Los componentes deben cumplir las condiciones: • • La suma en un renglón debe ser igual a 1. Los valores no serán negativos.

A este arreglo se le llama matriz de probabilidades de transición o simplemente matriz de transición.

1

El interés central en eluso de una cadena de Márkov es el siguiente. Suponiendo que la cadena esté en el periodo actual en el estado si, la probabilidad de que estará en el estado sj dentro de dos periodos, se designa con pij(2). Con la matriz de transición, este valor se calcula como:
(2) ????????????

O en el ejemplo:

Es posible generalizar estos resultados para pij(n) (la probabilidad que la cadena de Márkov,comenzando en el estado si llegue a estar en el estado sj después de n pasos). Obsérvese que pij(n) es parte de la matriz de transición [P]n que da la probabilidad de que la cadena de Márkov, comenzando en el estado si llegue al estado sj después de n pasos. [????]???? = [???????????? ](????)

????13 = ????11 ????13 + ????12 ????23 + ????13 ????33
(2)

= � ???????????? ????????????
????=13



Vector probabilidad de inicio

Estoy de acuerdo con los Términos y Condiciones de BuenasTareas.com. Suscríbase RSS ©2010 BueEl proceso también demanda conocer el vector de probabilidad de inicio, expresado en la forma: • • La suma de los componentes αi es igual a 1. Los valores no serán negativos. {????}???? = {????}0 [????]???? {????}0 = {????1 , ????2 , … , ???????? }

Despuésde n pasos, el vector de probabilidades de la cadena, se expresa como:

Derivación de las matrices de transición
Referencia
José J. Ortiz-García (Birmingham, UK), Seósamh B. Costello (University of Auckland, Auckland, New Zealand), and Martin S. Snaith (University of Birmingham, Birmingham, UK). Derivation of Transition Probability Matrices for Pavement Deterioration Modeling. Journal of...
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