Espacios Vectoriales y Transformaciones lineales Algebra Lineal

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR
EDO. ZULIA
UNIOJEDA – FACULTAD DE INGENIERIA



ALGEBRA LINEAL


























INDICE
Portada
Introduccion
Indice
Desarrollo
1) Espacio Vectorial y Sub-Espacio Vectorial
2) Combinación lineal de vectores
3) Dependencia e Independencia Lineal
4) BaseVectorial y Dimensionamiento
5) Vectores Propios: Propiedades y Aplicaciones
6) Transformacion Lineal
7) Imagen, Rango y Nucleo de una Transformacion Lineal
8) Matriz Asociada a una Transformacion Lineal
9) Transformaciones Ortogonales
10) Transformaciones de R2 a R2 de R3 a R3 y de Rn a Rn.
Conclusion






DESARROLLO
1) ESPACIO VECTORIAL
Es una estructura algebraica creada apartir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedadeso axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío. Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimensional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usarcualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html
Es una serie de vectores que cumplen con dos propiedades binarias que son la suma y la multiplicación por unescalar, vistas en n-dimensiones Rn o R2 y es no vacio. Se puede decir que es una reducción de las propiedades de un espacio y se puede aplicar cualquier vector y cualquier operación para sustituir la suma de vecotres y la multiplicación por un escalar.

Ejemplos:
Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones lineales:
f(x)=2x1+x2;g(x)=x1+x2Estudiar si forman una base del dual de R2 y hallar la base de R2 de la que son dual.
Para saber si las aplicaciones dadas forman una base del dual de R2, comprobamos que son linealmente independientes. Tenemos:
αf(x)+βg(x)=0⇒α(2x1+x2)+β(x1+x2)=0
Reagrupando términos tenemos:
(2α+β)x1+(α+β)x2= 0 ⇒ [((2α+β),(α+β)](x1x2)=0⎧⎩⎨2α+β=0α+β=0
Y a partir de ahí, α=0;β=0. Para obtener la base deR2 de la que son dual hacemos como en el ejercicio anterior:
f(v1)=1→(2x1+x2)(αe1+βe2)=2α+β=1g(v1)=0→(x1+x2)(αe1+βe2)=α+β=0∣∣∣∣α=1,β=−1
y análogamente:
f(v2)=0→(2x1+x2)(α′e1+β′e2)=2α+β=0g(v2)=1→(x1+x2)(α′e1+β′e2)=α′+β′=1∣∣∣∣α′=−1,β′=2
con lo que tendremos: v1=(1,−1);v2=(−1,2)
http://www.matematicasypoesia.com.es/Probvarios/ProbEspVecPreg.htm

SUB-ESPACIO VECTORIAL
En álgebra lineal,un sub-espacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas. Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K entonces S es un sub-espacio vectorial de V, si y solo si, S mayor que V. Todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales.http://www.slideshare.net/belencalero/subespacios-vectoriales
Un conjunto no vacío W de un espacio vectorial V es un SUBESPACIO de V si W con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V es en si mismo un espacio vectorial. Si V es un espacio vectorial y W es un subconjunto no vacío de V, entonces W es un sub-espacio de V si y sólo si:
Para todo a, b en W, a + b está en W.
Para todo en R y para todo a en W,  está en W....