Estadisticas Correlacion Lineal

Correlación y Regresión
Marcelo Rodríguez
Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística
Universidad Católica del Maule
Facultad de Ciencias Básicas
Ingeniería (E) en Administración

Estadística II

4 de abril de 2011

mrodriguez@ucm.cl

(UCM)

Marcelo Rodríguez G.

04/04/2011

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Introducción
Comúnmente, cuando se realiza un estudio estadístico, se miden a una
mismaunidad de análisis,

más de una variable.

Denición (Variable Dependiente)
Es la variable por predecir (o por modelar) y se denota con la letra

Y.

Denición (Variable Independiente)
Son las variables que se utilizan para predecir y se denota con la letra

X.

Denición (Relación entre variables)
Se dice que dos variables están relacionadas, si cambios producidos (causa)
enla

variable independiente

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producen un efecto en la

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variable dependiente.

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Relación entre las variables
Denición (Covarianza)
La covarianza entre dos variables cuantitativas, nos indica si la posible
relación entre dos variables es directa o inversa. La covarianza muestral se
calcula de la siguientemanera:

n

(xi − x)(yi − y )
covxy =

i=1

n−1

=

Sxy
n−1

Si la covarianza es negativa, entonces la relación es inversa.
Si la covarianza es positiva, entonces la relación es directa.
Si la covarianza es cero, entonces la relación es nula (no relacionados).
El signo de la covarianza nos dice si el aspecto de la nube de puntos es
creciente o no, pero no nos dice nada sobre elgrado de relación entre las

variables.
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Relación entre las variables
Ejemplo
Considere un estudio donde se mide el ingreso mensual (X ) y el gastos
mensual (Y ). Se considera una muestra de 10 individuos, los datos son:

0,75

14,8

18,4

1,25

1,75

2,1875

15,5

16,5

1,95

-0,15

-0,292512,5

15,2

-1,05

-1,45

1,5225

14,2

19,9

0,65

3,25

2,1125

15,7

22,1

2,15

5,45

11,7175

12,3

14,8

-1,25

-1,85

2,3125

14,2

17,3

0,65

0,65

0,4225

8,8

La covarianza sería

2,05

10,3

-4,75

-6,35

30,1625

14,6

-1,65

11,9

covxy =

16,65

55,065
9

= 6, 118.

-2,05

Suma

(xi

− x)(xi − x)17,4

13,55

(yi

− y)

Gasto (yi )

15,6

Promedio

(xi

− x)

Ingreso (xi )

1,5375

3,3825

55,065

Lo que indica es que el Ingreso

y el Gasto están relacionados, de forma directa (a medida que aumenta el
Ingreso aumenta el gasto).
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Grado de relación entre las variables
Coeciente decorrelación de Pearson

Denición (Correlación)
El coeciente de correlación de Pearson, indica la fuerza y la dirección de
una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos
variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de
ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores de la otra.

n

(xi − x)(yi − y )
i=1

r=

=

n

n(xi − x)2 ·
i=1

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(yi − y )2

Sxy
Sxx Syy

i=1

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Grado de relación entre las variables
Coeciente de correlación de Pearson

Indica si los puntos tienen una tendencia a disponerse alineadamente
(excluyendo rectas horizontales y verticales). Es útil para determinar si
hay relación lineal (y

= β0 + β1 ·x) entre dos variables.
Covxy . La diferencia radica en

Tiene el mismo signo que
acotado en

que

r

está

[−1, 1].

Si está cercana a -1, indica que las variables están relacionadas en
forma inversa, si está cercana a +1, la relación es directa y si está
cercana a 0, las variables no están relacionadas.
Cuanto más cerca esté

r

de

−1

o

+1

mejor será el grado de...