Estadistrica

DISTRIBUCION T STUDENT
La distribución t de Student fue estudiada por William Gosset(1876-1937) cuando trabajaba en la fábrica de cervezas Guiness en Irlanda. Necesitaba una distribución que se pudiera utilizar con muestras pequeñas. No pudo publicar sus trabajos con su nombre y usó el seudónimo de Student.
En probabilidad y estadística, la distribución t (de t-Student) es una distribución deprobabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce ladesviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
Se trata de una familia de variables aleatorias continuas. Esta familia depende de un parámetro que llamamos "grados de libertad". Es parecida a la distribución normal estándar pues tiene forma de campana, su media es 0 y es simétrica. Su varianza es mayor que 1. Cuanto mayor es el parámetro grados delibertad más próximo a 1 es esa varianza y más se aproxima la distribución t de Student a la normal estándar. Si este parámetro es mayor que 30, a veces se considera despreciable la diferencia entre la t de Student y la normal estándar.
Las distribuciones t de Student son parecidas a la normal. Se pueden utilizar para hacer estimaciones de la media cuando se desconoce la varianza (es lohabitual) y se usan muestas pequeñas.
Los intervalos así obtenidos son, no podría ser de otra manera, más grandes y menos precisos que los que se obtendrían si supusieramos conocida la varianza en una distribución normal.
Probabilidades en distribuciones t de Student muestra una comparación más precisa entre esta distribución y la normal.

Caracterización
La distribución t de Student es ladistribución de probabilidad del cociente

Donde
• Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
• V tiene una distribución chi-cuadrado con ν grados de libertad
• Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.

DISTRIBUCION "t DE STUDENT"Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media y varianza Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza por s? La distribución t proporciona la respuesta aesta pregunta.
La media y la varianza de la distribución t son  y para >2, respectivamente.
La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media  Sin embargo, la distribución t tiene colasmás amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.


Propiedades de las distribuciones t
1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normalestándar z.
3. A medida que aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye.
4. A medida que , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl =
La distribución de la variable aleatoria t está dada por:

Esta se conoce como la distribución t con grados de libertad.
Sean X1, X2, . . ....