estados diluidos
Páginas: 5 (1210 palabras)
Publicado: 12 de junio de 2014
EL ESTADO DE EQUILIBRIO DE UN GAS DILUIDO
4.1 HTHEOREM DEL BOLTZMAHH
Definimos la función de distribución de equilibrio como la solución de la ecuación de transporte de Boltzmann que es independiente de tiempo. Nosotros veremos que esto es también la forma restrictiva de la función de distribución como el tiempo tiende al infinito. Asuma que no hay ninguna fuerza externa. Es entoncesconstante asumir más lejos que la función de distribución es independiente de r y de ahí puede ser denotada por la f (p, t). La función de distribución de equilibrio, denotada por f0 (P), es la solución con la ecuación ∂f (p, t)/∂t = 0. Según la ecuación de transporte de Boltzmann (3.36), f0 (P) satisface la ecuación integral
donde P1 es un ímpetu dado.
Una condición suficiente para f0 (P) parasolucionar (4.1) es
donde {p 1, P2}- →{el Punto, P`1, p`2} es cualquier colisión posible (i.e, un con el corte transversal no desaparecido). Mostramos que esta condición es también necesaria, y así llegamos a la conclusión interesante que f0 (P) es independiente de dσ/dΩ, mientras el éste es no nulo.
Para mostrar la necesidad (de 4.2) definimos con Boltzmann el funcional
donde la f (p, t) es lafunción de distribución en la t de tiempo, la satisfacción
Diferenciación (de 4.3) producciones
Por lo tanto ∂f/∂t = 0 implica dH/dt = 0. Esto quiere decir que una condición necesaria para ∂f/∂t = 0 es dH/dt = 0. Ahora mostramos que la declaración
es lo mismo como (4.2). Esto entonces seguiría (4.2) es también una condición necesaria para la solución (de 4.1). A este finaldemostramos el teorema siguiente. es lo mismo como (4.2). Esto entonces seguiría (4.2) es también una condición necesaria para la solución (de 4.1). A este final demostramos el teorema siguiente.
EL TEOREMA DE H DEL BOLTZMANN
Si la f satisface la ecuación de transporte de Boltzmann, entonces
La Prueba que Substituye (4.4) en el integrando (de 4.5) tenemos *
El intercambio p1 y P2 en esteintegrando se marcha el integral invariante porque Tfi es invariante en tal intercambio. Haciendo este cambio de las variables de integración y tomando mitad de la suma de la nueva expresión y (4.8), obtenemos
Este integral es invariante en el intercambio de { p1, P2} y { P`1, P`2} porque para cada colisión hay una colisión inversa con la misma matriz de T. De ahí
Tomando la mitad la suma (de 4.9)(y 4.10) obtenemos
El integrando de los los integrales en (4.11) es nunca positivo.
* Notar que el empleo (de 4.4) presupone que el estado del sistema en la consideración satisface la suposición de caos molecular.
Como un subproducto de la prueba, deducimos (de 4.11) que dH/dt = 0 si y sólo si el integrando (de 4.11) de modo idéntico desaparece. Esto demuestra que la declaración (4.6) esidéntica (con 4.2). Esto también muestra que en una condición arbitraria inicial
4.2 LA DISTRIBUCIÓN DE MAXWELL-BOLTZMANN
Que ha sido mostrado esto la función de distribución de equilibrio f0 (P) es una solución (de 4.2). Le llamarán la distribución de Maxwell-Boltzmann. Para encontrarlo, déjenos tomar el logaritmo de ambos lados (de 4.2):
Desde {p1, P2} y { P`1, P`2} es, respectivamente, lasvelocidades iniciales y finales de cualquier colisión posible, (4.12) tiene la forma de una ley de conservación. Si X (P) es cualquier cantidad asociada con una molécula de velocidad p, tal que X (P 1) + X (P2) es conservado en una colisión entre moléculas P1 y P2, una solución (de 4.12) es
La mayor parte de solución general (de 4.12) es
donde la lista X1, X2 .... agota todas las cantidadesconservadas de forma independiente. Para moléculas sin spin, se trata de la energía y el impulso de una molécula, y, Por supuesto, una constante. Por lo tanto log f es una combinación lineal de p2 y los tres componentes de p más una constante arbitraria:
o
donde C, A, y los tres componentes de P0 es cinco constantes arbitrarios. Podemos determinar estos constantes en términos de propiedades...
4.1 HTHEOREM DEL BOLTZMAHH
Definimos la función de distribución de equilibrio como la solución de la ecuación de transporte de Boltzmann que es independiente de tiempo. Nosotros veremos que esto es también la forma restrictiva de la función de distribución como el tiempo tiende al infinito. Asuma que no hay ninguna fuerza externa. Es entoncesconstante asumir más lejos que la función de distribución es independiente de r y de ahí puede ser denotada por la f (p, t). La función de distribución de equilibrio, denotada por f0 (P), es la solución con la ecuación ∂f (p, t)/∂t = 0. Según la ecuación de transporte de Boltzmann (3.36), f0 (P) satisface la ecuación integral
donde P1 es un ímpetu dado.
Una condición suficiente para f0 (P) parasolucionar (4.1) es
donde {p 1, P2}- →{el Punto, P`1, p`2} es cualquier colisión posible (i.e, un con el corte transversal no desaparecido). Mostramos que esta condición es también necesaria, y así llegamos a la conclusión interesante que f0 (P) es independiente de dσ/dΩ, mientras el éste es no nulo.
Para mostrar la necesidad (de 4.2) definimos con Boltzmann el funcional
donde la f (p, t) es lafunción de distribución en la t de tiempo, la satisfacción
Diferenciación (de 4.3) producciones
Por lo tanto ∂f/∂t = 0 implica dH/dt = 0. Esto quiere decir que una condición necesaria para ∂f/∂t = 0 es dH/dt = 0. Ahora mostramos que la declaración
es lo mismo como (4.2). Esto entonces seguiría (4.2) es también una condición necesaria para la solución (de 4.1). A este finaldemostramos el teorema siguiente. es lo mismo como (4.2). Esto entonces seguiría (4.2) es también una condición necesaria para la solución (de 4.1). A este final demostramos el teorema siguiente.
EL TEOREMA DE H DEL BOLTZMANN
Si la f satisface la ecuación de transporte de Boltzmann, entonces
La Prueba que Substituye (4.4) en el integrando (de 4.5) tenemos *
El intercambio p1 y P2 en esteintegrando se marcha el integral invariante porque Tfi es invariante en tal intercambio. Haciendo este cambio de las variables de integración y tomando mitad de la suma de la nueva expresión y (4.8), obtenemos
Este integral es invariante en el intercambio de { p1, P2} y { P`1, P`2} porque para cada colisión hay una colisión inversa con la misma matriz de T. De ahí
Tomando la mitad la suma (de 4.9)(y 4.10) obtenemos
El integrando de los los integrales en (4.11) es nunca positivo.
* Notar que el empleo (de 4.4) presupone que el estado del sistema en la consideración satisface la suposición de caos molecular.
Como un subproducto de la prueba, deducimos (de 4.11) que dH/dt = 0 si y sólo si el integrando (de 4.11) de modo idéntico desaparece. Esto demuestra que la declaración (4.6) esidéntica (con 4.2). Esto también muestra que en una condición arbitraria inicial
4.2 LA DISTRIBUCIÓN DE MAXWELL-BOLTZMANN
Que ha sido mostrado esto la función de distribución de equilibrio f0 (P) es una solución (de 4.2). Le llamarán la distribución de Maxwell-Boltzmann. Para encontrarlo, déjenos tomar el logaritmo de ambos lados (de 4.2):
Desde {p1, P2} y { P`1, P`2} es, respectivamente, lasvelocidades iniciales y finales de cualquier colisión posible, (4.12) tiene la forma de una ley de conservación. Si X (P) es cualquier cantidad asociada con una molécula de velocidad p, tal que X (P 1) + X (P2) es conservado en una colisión entre moléculas P1 y P2, una solución (de 4.12) es
La mayor parte de solución general (de 4.12) es
donde la lista X1, X2 .... agota todas las cantidadesconservadas de forma independiente. Para moléculas sin spin, se trata de la energía y el impulso de una molécula, y, Por supuesto, una constante. Por lo tanto log f es una combinación lineal de p2 y los tres componentes de p más una constante arbitraria:
o
donde C, A, y los tres componentes de P0 es cinco constantes arbitrarios. Podemos determinar estos constantes en términos de propiedades...
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