EstadQuimVsAsContinuas

FCEyN - Estadística para Química

- 2do. cuat. 2006

-

Marta García Ben

Variables aleatorias continuas
Hemos definido que una variable aleatoria X es discreta si IX es un conjunto finito o infinito
numerable.
En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelos para hacer inferencias
estadísticas cuando los datos que se recogen son enteros (generalmente el "número de algo").Pero cuando los datos que se registran son continuos (por ejemplo estatura de una persona, contenido
de glucosa en una solución , porcentaje de hierro en un mineral, tiempo desde que un enfermo
comienza un tratamiento hasta que se observa una mejoría o un empeoramiento, o tiempo de
duración de una lamparita hasta que falla), se usan otro tipo de variables aleatorias como modelo
probabilístico: lasvariables aleatorias continuas.

Definición de variable aleatoria continua:
Una variable aleatoria X es (absolutamente) continua si existe una función f:R→R+ tal que
x

F(x) =

∫

f(t)dt

−∞

Nota: la función f se llama función de densidad de la v.a. X

Comentarios:
1) Si X es v.a. continua ⇒ F es continua
2) F es continua ⇔ P(X=x0)=0 para todo x0 ∈R
3) Si X es v.a. continua ⇒
b

P(a ≤ X ≤ b) =F(b) – F(a) =

∫

f ( x ) dx

a

para todo a≤b
Propiedades de las funciones de densidad
Son funciones f:R→R que cuplen dos propiedades:
a)

f(x)≥0 para todo x∈R
+∞

b)

∫

f(x)dx =1

−∞

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Marta García Ben

Ejemplo de función de densidad:
Ejemplo 1: f(x) = ax I[0,1](x)
a) Cuanto vale la constante a?
b) Calcular P(X>0.5)
Interpretaciónintuitiva de la función de densidad:

1) Ver la relación entre la función de densidad y el histograma.
2) Significado intuitivo del valor de la función de densidad en un punto:
P(x0-h ≤ X ≤ x0+h) ≅ f(x0)2h
(esta propiedad vale para los puntos x0 donde la función de densidad es continua).
Comentario: ¿Que significa intuitivamente que f(x1) Relación entre la función de densidad y la función dedistribución.
- Conocida la función de densidad de una v.a. continua,
¿se puede calcular su función de distribución?
-

Recíprocamente si se conoce la función de distribución de una v.a. continua puede calcularse su
función de densidad derivando:
f(x) = F’(x) para todo x∈R donde F es derivable.

Otro ejemplo de función de densidad:
Ejemplo 2: f(x) = e-x I[0,+∞](x)
Calcular la función de distribución.¿Existen variables que no son discretas ni continuas?

Esperanza.

Hemos definido esperanza para una v.a. X discreta: E ( X ) =

∑

x p( x )

x ∈I x

donde p(x) es la función de probabilidad puntual de X.
Análogamente se define esperanza para variables continuas:
Definición de esperanza para una v.a. continua: Sea X una v.a. continua, f su función de densidad.
Se define
E(X ) =

+∞

∫

x f (x ) dx−∞

+∞

Nota: la esperanza está definida cuando

∫

| x| f ( x ) dx < ∞

−∞

Comentario: ¿hay que pedir una condición similar a esta última para el caso discreto?

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Marta García Ben

Ejemplo: Calcular E(X) en el ejemplo 2.
Ejercicio: Calcular E(X) en el ejemplo 1.
Esperanza de una función de una variable aleatoria
Teorema: Sea X una v.a., guna función g:R→R.
a) Si X es discreta con f.p.p. p:

E( g( X )) =

∑

x ∈I

g( x ) p ( x )

x

b) Si X es continua con función de densidad f:

E( g( X )) =

+∞

∫

g( x ) f ( x ) dx

−∞

Propiedades de la esperanza. Dijimos que:
a)
b)

E(a X + b) = a E(X)+ b
E( X + Y) = E(X) + E(Y)

y que estas propiedades valían para cualquier variable aleatoria (discretas, continuas, cualquiera).
Ejercicio:Hemos demostrado la propiedad a) para el caso de variables aleatorias discretas,
demostrarlo también para el caso de variables aleatorias continuas (sugerencia: usar el teorema
anterior sobre E(g(X)).
Hemos dicho que la siguiente es la definición de varianza para cualquier variable aleatoria:
Definición de varianza
Sea X una v.a. se define

Var(X) = E(X-E(X))2

Cálculo de la varianza.
De la...

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