Estimación Por Intervalos

Capítulo 5

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
PARA MEDIAS POBLACIONALES EN UNA Y DOS
POBLACIONES

5.1 CONCEPTOS GENERALES
5.1.1 Introducción
5.1.2 Definición de intervalo de confianza
5.1.3 Interpretación de un intervalo de confianza
5.2 CONSTRUCCIÓN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA UN PARÁMETRO 
MEDIANTE EL MÉTODO DEL PIVOTE O CANTIDAD PIVOTAL
5.2.1 Método
5.2.2 Ejemplo5.2.3 Cuestiones que surgen al construir un intervalo de confianza
5.3 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN
5.3.1 Estimación para la media  de una población normal con  conocida
I. Error en la estimación
II. Determinación del tamaño muestral
III. Ejemplos
5.3.2 Estimación para la media  de una población normal con  desconocida
I. Cálculo del interva lo
II. Observacionesimportantes
III. Ejemplos
5.4

INTERVALOS
DE
CONFIANZA
PARA
MEDIAS
CONSIDERANDO
DOSPOBLACIONES
5.4.1 Introducción
5.4.2 Intervalos de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones normales
independientes
I. Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones normales
independientes, con varianzas conocidas
II. Intervalo de confianza para la diferenciade medias de dos poblaciones normales
independientes, con varianzas desconocidas pero supuestas iguales
III. Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones normales
independientes, con varianzas desconocidas pero que no pueden suponerse iguales
IV. Determinación del tamaño muestral
5.4.3 Intervalos de confianza para la diferencia de medias con datos apareados

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5.1 Conceptos generales
5.1.1 Introducción
Mediante los procedimientos usados en el capítulo 4 es posible construir un “buen” estimador
puntual de un parámetro θ, que verifique, incluso, todas las propiedades exigidas al respecto.
Sin embargo, en muchos casos, una estimación puntual no es suficiente, en el sentido de que dar
un número como estimación de un parámetro no nos indicael error que cometemos en la
estimación; esto es consecuencia de la aleatoriedad del muestreo.
En este capítulo estudiaremos el problema de obtener una estimación de un parámetro mediante
cierto intervalo numérico.
5.1.2 Definición de intervalo de confianza
Dada una muestra aleatoria simple (X1, X2,…, Xn) de una variable aleatoria X se llama intervalo
de confianza para un parámetro θ, connivel o coeficiente de confianza “1-”, 0<  < 1, a un
intervalo aleatorio (dado que sus extremos dependen de las muestras elegidas):

ˆ
ˆ
[θ1 (X1, X 2 ,..., X n ); θ 2 (X1 , X 2 ,..., X n )] (1)

tal que para cada  perteneciente al espacio paramétrico Θ :

[

(

)]

ˆ
P θ1 (X1, X 2 ,..., X n ) ≤θ ≤ˆ 2 X1 , X 2 ,...,X n = 1 - α (2)
θ
Observar que los extremos del intervalo (1) sonestadísticos, es decir función de las variables
aleatorias que componen la muestra y en consecuencia ellos mismos son variables aleatorias.
5.1.3 Interpretación de un intervalo de confianza
Veamos la interpretación concreta de (1).
Para una realización de la muestra, digamos (x1, x2,…, xn) obtendremos un intervalo numérico:

ˆ
ˆ
[θ1 (x1, x 2 ,..., x n ); θ 2 (x1, x 2 ,..., x n )]

quellamaremos también haciendo abuso del lenguaje: intervalo de confianza.
Observar que en este caso no tiene sentido hablar de probabilidad, dado que seleccionada una
muestra (X1, X2,…, Xn) la probabilidad de que el parámetro θ esté incluido en el intervalo (1) es
1 ó 0, dependiendo de que el parámetro θ esté o no esté entre los dos números en que se

ˆ
ˆ
convierten θ1 (X1 , X 2 ,..., X n ) yθ 2 (X1 , X 2 ,..., X n ) al particularizarlos para una muestra
concreta (X1, X2,…, Xn).
Sin embargo diremos que tenemos una confianza del (1-) 100% en el sentido de que si
tomásemos infinitas muestras y con cada una de ellas construyésemos el intervalo numérico
correspondiente

ˆ
ˆ
[θ1 (x1, x 2 ,..., x n ); θ 2 (x1, x 2 ,..., x n )]

el (1-) 100% de los mismos contendrían el valor...