Estimación puntual y por intervalos

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¿QUÉ ES UNA ESTIMACIÓN?
Cuando queremos realizar un estudio de una población cualquiera de la que desconocemos sus parámetros, por ejemplo su media poblacional o la desviación poblacional, debemos tomar una muestra aleatoria de dicha población a través de la cual calcular una aproximación a dichos parámetros que desconocemos y queremos estimar. Bien, pues esa aproximación se llama estimación.Además, junto a esa estimación, y dado que muy probablemente no coincida con el valor real del parámetro, acompañaremos el error aproximado que se comete al realizarla.

ESTIMACIÓN PUNTUAL
Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puedeextraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. Lo más importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente. Es decir, que sea insesgado(ausencia de sesgos) y estable en el muestreo o eficiente (varianza mínima)
Estimador
Un estimador de un parámetro poblacional es una función de los datos muestrales, también llamado estadístico. En pocaspalabras, es una fórmula que depende de los valores obtenidos de una muestra, para realizar estimaciones.
Formalmente, si θ es un parámetro poblacional, se dice que  es un estimador puntual de θ si , donde x1,x2,...,xn son las variables aleatorias que integran una muestra aleatoria de tamaño n de la población en cuestión.
Por ejemplo, un estimador de la media poblacional, μ, puede ser la mediamuestral, , según la siguiente fórmula:

donde (x1, x2, ..., xn) sería el conjunto de de datos de la muestra.
El estimador es una variable aleatoria que asigna a cada posible valor de la muestra un valor numérico. Como tal, tiene sentido calcular su esperanza, su varianza y otras características propias de las variables aleatorias.
Estimador insesgado
Por supuesto, cualquier función de la muestra, conla definición anterior, podría ser un estimador, pero es deseable que las estimaciones que surjan a partir de un estimador "se parezcan", en cierto modo, al parámetro que se desea estimar.
Con este propósito, se dice que un estimador de un parámetro θ es insesgado si su esperanza es el propio θ.
Estimador eficiente
Un estimador de un parámetro θ es eficiente si su varianza es mínima. Esto haceque haya menos variabilidad entre las distintas estimaciones que podemos obtener (cada muestra dará una estimación diferente). De esta forma, la estimación será más fiable. Hay una cota mínima dentro de las varianzas que se puede obtener para cualquier estimador con un sesgo determinado. Esta cota se llama cota de Cramér-Rao. Si la varianza de un estimador es igual a esta cota, sabremos que suvarianza es mínima, y por tanto, estaremos seguros de que es eficiente. Sin embargo, no siempre esta cota es alcanzable, por lo que no siempre podremos saber si el estimador que hemos utilizado es el más eficiente de todos. Para ello, cuando dudamos entre dos estimadores diferentes, y ninguno de ellos tiene una varianza igual a la cota de Cramér-Rao se utiliza el coeficiente de eficiencia relativa.Intervalo de confianza
Es un intervalo numérico que estima, con un nivel de probabilidad y un grado de error, un valor poblacional desconocido, a partir de un valor muestral.
Variabilidad del Parámetro
Si no se conoce, puede obtenerse una aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra queprescinden de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.
Error de la estimación
Es una medida de su precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el...
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