Estimacion_puntual

Cap´ıtulo 4
Estimaci´
on puntual
El objetivo que se marca la Estad´ıstica es adaptar un modelo de comportamiento a distintas
caracter´ısticas de una poblaci´on, para poder estimarlas. Para ello partimos del conocimiento de cada
caracter´ıstica en una muestra a la que pedimos sea suficientemente representativa. Se puede definir
esta representatividad de distintas maneras, y cada una llevar´ıa a unconcepto diferente de muestra.
La definici´on que consideraremos en este cap´ıtulo (y que utilizaremos en los sucesivos) es la m´as
sencilla y habitual.
Una vez tomada una muestra representativa, se decide tomar cierto modelo para la caracter´ıstica
estudiada, que supondremos es num´erica. Si esta caracter´ıstica, X, es de tipo de discreto, la consideraremos como una variable aleatoria, y as´ıadaptaremos un modelo con distribuci´on dada por una
funci´on de masa P . Si X es de tipo continuo, el modelo vendr´a dado por una funci´on de masa, f .
Para abreviar, diremos que estamos estudiando una poblaci´on X con funci´on de masa P (o funci´on
de densidad f ).

1.

Muestra aleatoria. Par´
ametro y estimador

Definici´
on 1.1. Una muestra aleatoria de tama˜
no N , de una poblaci´on X confunci´on de
masa P (o funci´on de densidad f ), es un vector aleatorio (X1 � X2 � . . . � XN ) donde:
a) La distribuci´on marginal de cada Xi viene dada por P (o por f ).
b) X1 , . . . , XN son independientes.
Veamos c´omo, con esta definici´on, podemos tomar siempre una muestra aleatoria como una
muestra representativa de la poblaci´on estudiada.
a) Cada Xi representa el valor de X en el elementoi–´esimo de la muestra.
b) El hecho de que cada distribuci´on marginal venga dada por la misma distribuci´on significa,
informalmente, que todos los elementos de la poblaci´on tienen la misma oportunidad de aparecer
en la muestra. Con otras palabras: la probabilidad de que un valor aparezca en la observaci´on
i–´esima depende s´olo de la probabilidad que dicho valor tiene en la poblaci´on, de manera quecada observaci´on representa por igual a la poblaci´on.
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´ PUNTUAL
CAP´ITULO 4. ESTIMACION

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c) Suponer que las observaciones sean independientes, es c´omodo para el desarrollo te´orico del modelo del muestreo. As´ı, si (X1 � . . . � XN ) es una muestra aleatoria de una poblaci´on X, la funci´on
de masa de la muestra vendr´a dada por:
caso discreto: P (x1 � . . . � xN ) = P (x1 ) · · · · · P(xN )
caso continuo: f (x1 � . . . � xN ) = f (x1 ) · · · · · f (xN ) .
Esta independencia la podemos entender de dos maneras:
– de un modo exacto, significa que cada vez que observamos un elemento lo devolvemos a la
poblaci´on (“reemplazamiento”);
– de una manera aproximada, significa que el tama˜
no de la poblaci´on es muy grande en comparaci´on con el de la muestra, de modo que la composici´onde la poblaci´on se altera muy
poco al faltarle algunos elementos (los ya observados).
Nota: Conviene distinguir entre los conceptos de “muestra aleatoria” y “muestra”. La primera es
un vector aleatorio, con su funci´on de masa (o densidad, seg´
un el tipo). La segunda es una colecci´on
de n´
umeros, x1 � . . . � xN , que entenderemos como una “realizaci´on” del vector aleatorio (X1 � . . . � XN).
En adelante, en general, usaremos letras may´
usculas para referirnos a variables, y min´
usculas para
valores de las mismas.
Por supuesto desconocemos P (o f ), pues de conocerla el problema no ser´ıa tal. Precisamente,
nuestro objetivo es ganar informaci´on sobre P (o f ) a partir de las observaciones X1 � . . . � XN . Para
ello, una buena idea es resumir la informaci´on aportada por losdatos muestrales. Lo mejor ser´ıa que
estos res´
umenes no perdiesen nada de la informaci´on contenida en la muestra. Esta necesidad nos
lleva a la definici´on de estad´ıstico:
Definici´
on 1.2. Un estad´ıstico es una funci´on real T de la muestra aleatoria (X1 � . . . � XN ).
En particular, un estad´ıstico es una variable aleatoria, T (X1 � . . . � XN ), y, en consecuencia, podemos
hablar de su...