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TEORIA DE CONJUNTOS
CONJUNTOS
Concepto y notación de conjunto
Consideremos un conjunto como una colección de objetos: lápices, árboles,
puntos, etc. Los componentes individuales de un conjunto son sus elementos.
Como un ejemplo, considérese el conjunto formado por cuatro muchachos
llamados: Jorge, Daniel, Diego y Manual. Este conjunto tiene cuatro elementos.
Los conjuntos pueden, sinembargo, tener cualquier número de elementos.
Podemos pensar en el conjunto de todos los granos de arena de una playa, este
conjunto tiene un número finito de elementos pero este número es,
indudablemente, muy grande. Un ejemplo de un conjunto infinito es el conjunto de
todos los enteros positivos 1, 2, 3, 4, 5, … En realidad, puede existir también un
conjunto que no contenga elementos, a talconjunto lo llamamos conjunto vacío.
Podemos definir de este manera los diversos conjuntos, pero conjunto es un
término primitivo que no se puede definir. Por tanto, aceptamos conjunto y
elemento como términos no definidos.
Los conjuntos se representan con letras mayúsculas.
A = { 1, 2, 3, 4 }

B = { álgebra, geometría, cálculo }

Como observará en los ejemplos anteriores, los elementos delconjunto se
encuentran encerrados entre llaves { } y separados por comas.
Ejemplo.
El conjunto de las vocales se representa así:
{ a, e, i, o , u }
Que podemos llamar conjunto V, por tanto:
V = { a, e, i, o , u }
Note que para representar los elementos de este conjunto hemos utilizado
minúsculas.
Existen dos formas para describir los elementos de un conjunto: por extensión y
porcomprensión.
Un conjunto se describe por extensión cuando se listan los elementos del
conjunto, como:

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 1, 3, 5, 7, …, 19 }
En el caso del conjunto B, los puntos suspensivos indican que los números
impares continúan hasta el 19.
Un conjunto se describe por comprensión cuando se da una regla que permita
describir todos los elementos del conjunto, así:
1. R = { x/x es unnúmero real }, el conjunto de todos los números reales. Esta
expresión, se puede leer: “El conjunto R es el conjunto de todos los números x
tales que x es un número real”. El pequeño segmento de recta vertical se lee
“tal que”.
2. B = { x/ x ∈ Z+ y x < 6 }, el conjunto de todos los enteros positivos menores
que 6.
Un conjunto como R se denomina conjunto infinito ya que tiene un infinitonúmero de elementos, mientras que el conjunto B se denomina finito.
3. Z+ = { x/ x es un entero positivo }, el conjunto infinito de todos los enteros
positivos. Con frecuencia este conjunto se escribe { 1, 2, 3, 4, 5, …}
4. A = { x/ x es un entero positivo par }, el conjunto infinito de todos los enteros
positivos pares. Muchas veces se representa por { 2, 4, 6, 8, … }
5. J = { R / R murió en lasegunda guerra mundial }, el conjunto de todas las
personas que murieron durante la segunda guerra mundial.
6. S = { x/ x > 8 y x < 6 }, al conjunto S lo llamaremos conjunto vacío ya que no
hay ningún número que simultáneamente sea mayor que 8 y menor que 6, y
por tanto S no tiene ningún elemento.
Escribimos entonces S = { } o preferiblemente S = φ
Cualquier conjunto que contenga loselementos de los conjuntos que se están
considerando en un análisis dado, se denomina conjunto Universal y se
representa por la letra U. En los ejemplos anteriores el conjunto R se puede
considerar conjunto Universal para los conjuntos B, Z+ y A, ya que a R pertenecen
todos los elementos de los conjuntos mencionados. Por medio de diagramas
podemos representar los conjuntos anteriores.
Relacionesentre conjuntos
Relación de pertenencia

Cuando estamos interesados en relacionar un elemento con un conjunto dado,
hablamos de relación de pertenencia y utilizamos la notación ∈ .

R
Z

A

B
Figura. Relación entre conjuntos A, B, Z
Ejemplo 2.
Sea A = { 8, 10, 12, 14, 16 }
Entonces escribimos 8 ∈ A, que significa que 8 “pertenece a” A. De la misma
manera podemos decir que 10 ∈...