Estructuras

Ingeniería Civil Universidad Autónoma de Zacatecas

Capítulo 1

ESTABILIDAD E INDETERMINACIÓN

1.1 Introducción Durante los primeros cursos de estática, se aplican los principios elementales del equilibrio de sistemas de fuerza [1,2]. Desde entonces se plantea que la resultante de dichos sistemas debe ser cero. Tanto las vigas como las armaduras representan las primeras estructuras en lascuales se determinan los valores de las fuerzas de reacción necesarias para que la suma total sea cero. Es decir, para que la estructura esté en equilibrio. El requisito indispensable para poderlas analizar es que sean isostáticas, es decir, que sólo tengan las reacciones o apoyos necesarios para que sean estables. Aquí, se considera una estructura estable aquella que tiene tantos apoyos ydispuestos en forma tal que impidan movimientos de cuerpo rígido. Considerese por ejemplo una viga simple sujeta a cualquier sistema de carga (Fig. 1) :

Y X
Figura 1. Viga simplemente apoyada El apoyo fijo en el extremo izquierdo ofrece dos direcciones de soporte, mientras que el apoyo del extremo derecho ofrece solamente una. A cada extremo se le nominará como nudo 1 y 2 respectivamente. Lasreacciones que sostienen a la viga son las que se indican en la figura 2. De acuerdo a un sistema coplanar general, se disponen de tres ecuaciones de equilibrio. Estas son ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣMz = 0. Debido a que se tienen igualmente tres reacciones desconocidas, Rx1, Ry1, Ry2, la estructura se dice isostática. Es decir, el número de reacciones debidas a los apoyos es igual al número de ecuacionesdisponibles para establecer su equilibrio.

Rx1 Ry1 Ry2

Figura 2. Reacciones en los extremos de la viga

Análisis Estructural 1 Diego Miramontes De León

Si a la misma viga se remueve uno de sus apoyos, por ejemplo si se elimina el apoyo derecho, entonces es inestable (Fig. 3). Por otro lado, el número de reacciones es igual a dos, mientras que el número de ecuaciones sigue siendo tres. En estecaso, la estructura se dice hipostática. La estructura presenta un movimiento de cuerpo rígido. Esto significa que aunque haya desplazamientos no nulos en alguno de sus nudos, los esfuerzos internos son nulos. Es importante remarcar que los desplazamientos así obtenidos son indeterminados. Para el ejemplo mostrado tanto el giro en el nudo 1 como el giro y el desplazamiento del nudo 2 son nonulos.

Rx1 Ry1

θ =α

Figura 3. Viga hipostática De igual forma, si se elimina la reacción horizontal del apoyo izquierdo (esto se puede lograr transformando el apoyo de pasador fijo por el de otro rodillo como el del nudo 2), la viga presenta también un número menor de incógnitas que el de ecuaciones (Fig. 4). La estructura sigue siendo hipostática y el desplazamiento indeterminado se da enambos nudos en la dirección horizontal. Esto también representa un movimiento de cuerpo rígido. Nuevamente, los esfuerzos internos son nulos y los desplazamientos no se pueden evaluar.

u=α

Ry1
Figura 4. Viga hipostática

Ry2

Por último, considérese el caso contrario a los anteriores, es decir, en lugar de eliminar reacciones, se agregan apoyos a la misma viga (Fig. 5).

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Figura 5. Viga hiperestática El empotramiento en el extremo izquerdo origina una nueva restricción al apoyo. Esta le impide girar, por lo que se tienen ahora cuatro reacciones incógnita contra tres ecuaciones de equilibrio. A esta estructura se le dice hiperestática. Y a la diferencia entre el número de reacciones y el de ecuaciones proporcionadas por laestática se le conoce como grado de indeterminación estática (gie). Así, en este caso el gie = 1. La solución requiere que se planteen ecuaciones adicionales hasta igualar el número de ecuaciones con el de las incógnitas por determinar.

Rx1 Rz1 Ry1 Ry2

Figura 6. Reacciones en la viga hiperestática de la figura 5 Se puede seguir incrementando el número de restricciones a los desplazamientos de...