Euclides y la Geometria

EUCLIDES Y LA GEOMETRIA:


Introducción


La geometría fue, primero, la ciencia de la medida de las extensiones (geo = tierra; metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con los geómetras griegos) fue la extensión de una línea, recta o curva; de una superficie limitada por líneas y de un volumen limitado por superficies. Pero rápidamente la expresión medir adquirió entre los griegos unsentido muy general de "establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos clases:[pic]

• Relaciones de posición que se enuncian por proposiciones tales como " La recta D es paralela a la recta D’", " la recta D es tangente al círculo C", etc.

• Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es triple del segmento AC", "la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro esunnúmero que ninguna fracción puede definir", etc.


Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras de la antigüedad pusieron a punto un método que se convertiría más adelante en el método matemático por excelencia: la demostración.


Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir un conjunto importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de razones - comodijoDescartes- a algunos principios primeros. Este "corpus" es la geometría euclidiana.


Precisamente, el valor estético de la construcción euclídea y la trascendencia intelectual de su programa consiste en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas, definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los geómetras anteriores, Euclidesseleccionaba unos pocos conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.


La geometría de Euclides, la geometría de Descartes, la geometría de Riemann o la de Lovachevski, etc., son unas teorías deductivas. Los entes de los cuales tratanse llaman figuras y podemos dar de ellas diversas imágenes que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas imágenes puedenser símbolos figurativos, ecuaciones, etc.

• La Geometría no euclídea: Geometría para la que no es válido el axioma de paralelismo de Euclides (quinto postulados de Euclides).

• La Geometría hiperbólica: Geometría no euclídea en la cual el postulado de lasparalelas se sustituye por otro según el cual desde un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas a ella, las cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de las que no tienen puntos comunes con esa recta.

• La Geometría elíptica: Geometría no euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el cualdesde un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a ella.

• La Geometría proyectiva: Geometría cuyos objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones propias, las proyectividades.


Reseña histórica.


Es importante, antes de emprender un estudio de la geometría Euclidiana, revisar algunos antecedentes históricos que nos permita tener una visión general desu desarrollo. Tanto Proclos, como Herodoto, consignan en sus escritos que la geometría tuvo sus orígenes en Egipto con la medición de áreas, ya que el río Nílo, al desbordarse, borraba las señales que limitaban los terrenos de los agricultores. Según reseña el historiador Herodoto, en tiempos de Ramses II (1300 A. C.) la tierra del valle del Nilo se distribuía en terrenos rectangulares iguales por loscuales se debía pagar un impuestoanual, pero cuando el río invadía los terrenos, el agricultor tenía que avisar al rey lo sucedido, enviando éste a su vez a un supervisor que medía la parte en que se había reducido el terreno para que pagara sobre lo que quedaba, en proporción a impuesto que se había fijado. Precisamente, la palabra Geometría significa «medición de tierra».  Afirma Herodíto...