Euclides

Seminario 1. Equipo Euler
“La aritmética de Euclides”
Los libros VII, VIII y IX tratan de la teoría de los números, esto es, de las propiedades de los números enteros y de las razones entre númerosenteros. Son los tres únicos libros de los Elementos que tratan de aritmética como tal. En ellos Euclides representa los números como segmentos de recta y el producto de dos números como unrectángulo, pero sus argumentaciones no dependen de la geometría. Los asertos y pruebas son verbales, frente a la forma simbólica actual.
Muchas de las definiciones y teoremas, en particular los referidos aproporciones, repiten lo expuesto en el libro V, lo que ha llevado a los historiadores a preguntarse por qué Euclides vuelve a probar de nuevo proposiciones sobre números en lugar de aprovechar las yaprobadas en el libro V.
En estos tres libros, como en otros, Euclides da por supuestos hechos que no enuncia explícitamente; por ejemplo, que si A divide (exactamente) a B y B divide a C, entonces Adivide a C; que si A divide a B y a C, también divide a B+C y a B-C, etc.
El libro VII posee 102 proposiciones y podemos decir que son investigaciones de carácter teórico con la intención, porejemplo, de determinar la medida común máxima entre sí de dos números no primos. De hecho este volumen es una reconstrucción del legado aritmético de raíces pitagóricas.
El libro VIII prosigue con la teoríade números, sin incorporar nuevas definiciones.
Trata sobre todo de progresiones geométricas, que para Euclides son conjuntos de números en proporción continua, esto es, a/b=b/c=c/d=d/e=... Talesproporciones continuas satisfacen nuestra definición de progresión geométrica, ya que en estas la razón entre cada término y el siguiente es constante.
El libro IX es una especie de misceláneaaritmética. Encontramos como primicia la moderna resolución unívoca de un número en sus factores primeros y el Teorema que establece la cantidad infinita de los números primos. Encontramos también teorías...