Euler

SEMINARIO DE LA INVESTIGACION
Euler y la Teor´ de N´meros
ıa
u

Resum´n
e

Por:
Juan Manuel Horta Cardozo
C´digo: 2009287451
o

Profesor:
˜
Mg. Ricardo Cedeno Tovar

Universidad Surcolombiana
Facultad de Educaci´n
o
Programa de Licenciatura en Matem´ticas
a
Neiva - Huila
2012

2

EULER Y LA TEORIA DE NUMEROS
En las matem´ticas una de las ramas m´s esenciales yrigurosa del estudio es la
a
a
Teor´ de N´meros. Teniendo como objeto entender los n´meros enteros positivos,
ıa
u
u
donde es esencial para el estudio de los n´meros primos, en la trigonometria y el
u
c´lculo. Los n´meros Enteros aunque son muy silenciosos son los que nos producen
a
u
los mayores problemas modestos y profundos en la matem´ticas. En este cap´
a
ıtulo se vera como se inici´el estudio de los n´meros por Euclides y veinte siglos
o
u
m´s adelante llega Euler para concretar lo que habia iniciado Euclides. Aunque
a
los elementos de Euclides son reconocidos por pocos matematicos donde al estudiarlos se han enterado que Euclides dedico tres textos a la Teor´ de N´meros.
ıa
u
Donde cosas como estas han reflejado en la historia como en los antiguos griegos
quienesestablecier´n la matematicas no simplemente como abstracciones sino coo
mo un objeto de reverencia y contemplaci´n, siendo esta tomadas de la Naturaleza.
o

Euclides cuando comenz´ con su libro VII en el estableci´ 22 definiciones que
o
o
hoy en d´ conocemos, una de esa es la de N´mero Primo. Adem´s, defini´ N´meıa
u
a
ou
ro Perfecto; que es aquel que es igual a la suma de sus divisores.Por ejemplo, el
n´mero 28; los divisores del 28 son(1, 2, 4, 7, 14), donde la suma de estos n´mero
u
u
s nos ha de producir el mismo 28. por lo tanto, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 y es un
N´mero Perfecto. El resultado de la proposici´n del libro IX de Euclides, donde
u
o
indica que donde se hace la siguiente sucesi´n 1 + 2 + 4 + ... + 2k−1 . Que al multio
k −1
plicarle 2
a la sucesi´nencontraremos la f´rmula para hallar N´meros Perfectos.
o
o
u
Seg´n el teorema que establece que: 2k − 1 es de primera y si N = 2k−1 (2k − 1),
u
entonces N es un N´mero Perfecto. Por lo tanto, la prueba consistir´ que, la suma
u
ıa
de los divisores ser´ correcta; as´
a
ı:
k −1
= 1 + 2 + 4 + ... + 2
+ p + 2p + 4p + ... + 2k−2 p
= (1 + 2 + 4 + ..,2k−1 ) + p(1 + 2 + 4 + ... + 2k−2 )
= (2k−1 )+ (2k−1 − 1)p + (p(2k−1 − 1) − p)
= p2k−1 = N

Por ende, cosas como estas son un pedacito fino de Teor´ de N´meros de
ıa
u
aproximadamente unos 2300 a˜os atr´s. Euclides es uno de los que se merecen un
n
a
1

aplauso por la percepci´n y precisi´n matem´tica; porque fue el unico que estableo
o
a
´
ci´ una demostraci´n verdadera para conocer un poco m´s sobre algunos N´meros
o
o
au
Perfectos en esa ´poca. Gracias al teorema de Euclides Mersenne genera el N´mero
e
u
Perfecto,
230 (231 − 1) = 2, 305, 843, 008, 139, 952, 128.
Donde a comienzo del siglo diecinueve este ejemplo estaba descrito como el mejor
que habia sido descubierto, aunque se sigui´ pensando que no se podria continuar;
o
hoy en d´ los matem´ticos realizan estas operaciones con n´meros m´s grandesıa
a
u
a
en las computadoras. Al combinarse el estudio de Euclides con las computadoras
de hoy se establece cosas tales como, 23021376 (23021377 − 1) siendo este tambien un
n´mero perfecto. Dejando como residuo un n´mero aproximadamente de 1.8 millou
u
nes de digitos. En 1598 un matem´tico llamado Unicornus, perfecciono el teorema
a
de Euclides, donde afirmo que el n´mero deberia tener lasiguiente forma:
u
k−1 k
N = 2 (2 − 1) siendo este un N´mero Perfecto. Ren´ Descartes en una carta a
u
e
Mersenne el 15 de Noviembre de 1638, donde le estableceria que a lo del parentesis le podr´ establecer con la condici´n de que k ¿1; asi le parecia que fuese la
ıan
o
indicaci´n del N´mero Perfecto.
o
u

En el interlinemiento de Euler a la Teor´ de N´meros parece haber sido un...