euler

Fórmula de Euler
La Fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base dellogaritmo natural, i es launidad imaginaria,  y  son las funciones trigonométricas seno y coseno.
O bien:

siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy.
Índice
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1 Demostración1.1 Demostración usando las Series de Taylor
2 Relevancia matemática
3 Véase también
4 Enlaces externos
Demostración[editar]
Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de losnúmeros complejos y de la exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los reales para parámetros complejos para poder demostrarla fórmula de Euler.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar  sobre los números reales. Así,  esel ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sóloes válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La fórmula de Euler fue promulgada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizadaporEuler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 añosmás tarde (ver Caspar Wessel).
Demostración usando las Series de Taylor[editar]



La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.
Sabiendo que:

y así sucesivamente. Además de esto, lasfunciones ex, cos(x) y sen(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

Definimos cada una de estas funciones por las series...