Euler

Ecuaciones de Euler-Lagrange
Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto dela mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).
Caso discreto
En mecánicaclásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo. Los sistemas de partículas o sistemas discretos tienen un número finito de grados de libertad, y en esoscasos la integral de acción es del tipo:

Y su correspondiente variación viene dada por:

Si se impone ahora que  para variaciones "cercanas", esto implica que:

donde L es el lagrangiano para elsistema, y  son las coordenadas generalizadas del sistema.
Caso continuo
La formalización de ciertos problemas físicos requiere construir una integral de acción sobre un continuum o sistema que nopuede ser tratado mediante un número finito de variables o grados de libertad. Así en teoría de campos y mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre unvolumen:

Donde  es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y  representan las variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales).Cuando la acción toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el convenio de sumación de Einstein, vienen dadas por:

Mecánica lagrangiana dela partícula
Un ejemplo de problema mecánica simple es el de una partícula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones deEuler-Lagrange aplicadas al lagrangiano:

La función lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque según el tipo de problema también puede escribirse un lagrangiano en en términos de...