EULER

13. MÉTODO DE EULER
Este método consiste en dividir el intervalo [x0,xf] en “n” subintervalos de ancho h esto es:

Lo que permite determinar un conjunto de n+1puntos discretos, i.e.:
X0, X1, X2,..., Xn-1, Xn


Observando que:
Para cualquier punto se tiene.

En general
,
Paso muy similar al paso de integración numérica.
CONDICIÓN INICIAL
1 representa el punto , por donde pasa la curvasolución de la ecuación PVI. lo que será denotado por F(x) = y, en lugar de F(x,y,c1) = 0.
2 Consecuentemente: teniendo el punto P0 podemos evaluar la primera derivada de F(x) en ese punto P0. Esto es:
…………........................................................(6)
3 Teniendo esta información (6) trazamos una recta la que pasa por P0 y de pendiente que aproxima F(x) en una vecindad de X0.

4 Tomamosla recta L3 en lugar de F(x) y localizamos en esta recta el valor de y1 que corresponde a x1. Esto es:
....................................................................................(7)
...............................................(8)




Gráfica












(1) En esencia se trata de aproximar la curva y = F(x) por medio de una serie de segmentos de líneas rectas.
(2) El métodocomete un error de truncamiento que es propio del método.
(3) El error de (2) se puede anular tanto como se quiera, reduciendo la longitud de “h” teóricamente.
(4) Debido a (3) se comete un error de redondeo más alto.
Ejemplos de Aplicaciones Resueltos
Resolver PVI usando Euler

Ejemplo 1

Solución
1 El intervalo de interés [x0,xf] = [0,1]
2 Determinando h: dividimos el intervalo[0,1] en 5 subintervalos
3 Determinar los argumentos:

4 Determinando los valores de yi

Comparando con la solución analítica
La solución analítica es: 1.10364
El error absoluto
El error relativo

El error porcentual
Solución Analítica
En general la forma de una Ecuación diferencial lineal de orden “A” es:
………...........................(1)
La solución de (1) son soluciones exponenciales,o se construyen a partir de funciones exponenciales. En donde su solución general es:


i.e.: , hallar en nuestro caso:
1 , luego
2 entonces , i.e. ,
Entonces

3 Determinando y1 (x)
i.e.
Luego

4 La solución General
Aplicando C.I. X0 = 0

El valor de x = 1

Ejemplo 2
Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: 

Aproximar .
NOTAPrimero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. 
Solución Analítica.
 

 
 
Sustituyendo la condición inicial: 


 
Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada: 


 
Y por lo tanto, el valor real que sepide es:

Solución Numérica
Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre y no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos. 
De esta forma, tenemos los siguientes datos: 
 
Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en unprimer paso:
 
Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso: 
 
Y así sucesivamente hasta obtener . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
n


0
0
1
1
0.1
1
2
0.2
1.02
3
0.3
1.0608
4
0.4
1.12445
5
0.5
1.2144
  Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: 
 
Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero,podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que: 

Ejemplo 3
Aplicar el método de Euler para aproximar, dada la ecuación diferencial. 

 
Solución
Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de...