evaluacion

Cuestionario de Autoevaluaci´
on de
Ecuaciones Diferenciales

Natalia Boal
Francisco Gaspar
Departamento de Matem´
atica Aplicada
Universidad de Zaragoza

Cuestiones
Elige la respuesta correcta en cada una de las siguientes cuestiones.

1. La ecuaci´on diferencial (t2 + 1)y + ty − sent = 0 es:
(a) una ecuaci´on diferencial lineal,
(b) una ecuaci´on diferencial exacta,
(c) unaecuaci´on de Bernoulli,
(d) una ecuaci´on en derivadas parciales.
2. Sabiendo que y1 (t) = et , y2 (t) = tet forman un sistema fundamental de soluciones
de la ecuaci´on diferencial y − 2y + y = 0, indica cu´al es el wronskiano asociado
w(t):
(a) w(t) = (t2 − 1)e2t ,
(b) w(t) = et + tet ,
(c) w(t) = e2t ,
(d) w(t) = 0.
3. Dado el problema de valor inicial y = t(y − 1),

t ∈ [0, T ], y(0) =−1 se tiene que:

(a) existe una u
´nica soluci´on y(t) en [0, T ],
(b) y(t) = −1 es soluci´on,
(c) f (t, y) = t(y − 1) no es lipschitziana,
(d) por el teorema de Peano-Lindel¨of el PVI tiene una u
´nica soluci´on: y(t) = 1.
4. Sea el sistema no homog´eneo Y (t) = AY (t) + B(t), se cumple que:
(a) si Y1 (t) e Y2 (t) son soluciones particulares del sistema, entonces Y1 (t) + Y2 (t)
estambi´en soluci´on particular del sistema,
(b) el conjunto de soluciones del sistema no homog´eneo forma un espacio vectorial
de dimensi´on n, siendo n el orden de la matriz,
(c) existe soluci´on siempre y cuando la matriz A sea diagonalizable,
(d) ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera.
5. Dadas las ecuaciones diferenciales
y + y = t,
y + y = et .

(1)
(2)

Si y1 (t) e y2 (t)son soluciones de (1) y (2) respectivamente, entonces
2

(a) y1 (t) + y2 (t) es soluci´on de la ecuaci´on y + y = t + et ,
(b) y1 (t) + y2 (t) es soluci´on de la ecuaci´on 2y + 2y = t + et .
(c) y1 (t) e y2 (t) forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on
y + y = 0.
(d) y1 (t) + y2 (t) es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea y + y = 0.
6. Indica cu´al de las siguientesafirmaciones es falsa.
(a) L[f (t) + g(t)](s) = L[f (t)](s) + L[g(t)](s).
(b) L[f (t) g(t)](s) = L[f (t)](s) L[g(t)](s).
(c) L[λf (t) + µg(t)](s) = λL[f (t)](s) + µL[g(t)](s),
(d) L[λf (t)](s) = λL[f (t)](s),

λ, µ ∈ IR.

λ ∈ IR.

7. Dadas las funciones
f1 (t) = t,

t, t = 5,
0 t = 5.

f2 (t) =

f3 (t) =

t, t = 3,
2 t = 3,

y F (s) = 1/s2 , entonces:
(a) f1 (t) no esantitransformada de Laplace de F (s).
(b) f2 (t) no es antitransformada de Laplace de F (s).
(c) f3 (t) no es antitransformada de Laplace de F (s).
(d) Se cumple que L[fi (t)](s) = F (s), i = 1, 2, 3.
8. Sea el problema de Sturm-Liouville
(x + 1)2 X + (x + 1)X + λX = 0,
X(0) = X(e − 1) = 0.
La funci´on peso en este caso es:
(a) p(x) = 1,

(b) p(x) = 1/(x + 1)2 ,

(c) p(x) = 1/(x + 1),

(d)p(x) = −(x + 1).

9. La siguiente figura corresponde a las trayectorias de un problema de amortiguaci´on.
Relaciona la figura con el tipo de movimiento y la clase de punto cr´ıtico.

5

4

3

2

v

1

0

−1

−2

−3

−4

−5
−5

−4

−3

−2

−1

3

0
x

1

2

3

4

5

(a) Es un movimiento vibratorio superamortiguado y el punto cr´ıtico es un nodocircular.
(b) Es un movimiento vibratorio arm´onico y el punto cr´ıtico es un punto silla.
(c) Es un movimiento subamortiguado y el punto cr´ıtico es un centro
asint´oticamente estable.
(d) Es un movimiento vibratorio arm´onico y el punto cr´ıtico es un centro estable
pero no asint´oticamente estable.
10. Se supone que se tiene un medio ambiente en el que hay, en el tiempo t , x(t) conejos
yy(t) zorros. Se supone que el medio ambiente tiene un suministro ilimitado de
vegetaci´on que sirve como comida para los conejos y que los conejos, a su vez, sirven
como alimento a los zorros. Los zorros son los depredadores y los conejos las presas.
Las poblaciones de conejos y zorros cumplen un sistema no lineal de ecuaciones de
la forma:
x = 2000x − xy,
y = xy − 3000y,
donde es...