Evolución de la noción del numero

epístola de la ciencia

Evolución de la noción del número
Ramón Espinosa

1. Los números naturales La necesidad de contar condujo a la primera noción de número: el número natural. Los números naturales han estado presentes en todas las civilizaciones y se han representado de distintas maneras. Los matemáticos de la India fueron los primeros en introducir símbolos individuales para cada unode los números del 1 al 9. Es probable que el símbolo "1" provenga del dedo levantado, que es la manera más sencilla y natural que tenemos para decir "uno". Otra manera de indicar el uno es por medio de una vara colocada en el suelo, por esa razón el uno se indicaba también por medio de una línea horizontal. El dos se expresaba por medio de dos líneas horizontales = y el tres por medio de treslíneas ≡. Escrito con rapidez el símbolo = se transformó en z, el cual a su vez se convirtió en 2. De manera similar el símbolo ≡ evolucionó hasta convertirse en el moderno 3. El origen de los otros símbolos no es claro, lo cierto es que se fueron modificando en el transcurso de siglos hasta llegar a su forma actual. Pitágoras, el famoso matemático griego que vivió en el siglo V a. C., creía que losnúmeros naturales 3

gobernaban el universo. Los pitagóricos identificaban alguna propiedad con cada número natural. El número uno era considerado como el símbolo de la vida, de la creación y de la razón.

Un subconjunto particularmente importante de los números naturales es el conjunto de los números primos. Un número natural mayor que uno se dice que es primo si sus únicos divisores son el unoy él mismo. En el siglo III a. C. Euclides demostró que el número de primos es infinito. El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural distinto de uno se puede escribir como producto de primos, además esta representación es única excepto por el orden en que aparecen los primos.4365387364850696858583726242637394505958463524313141619049585673624232456598097532234368790998665534321122343547689834343468754323

laberintos e infinitos 2. Números racionales positivos Si la necesidad de contar condujo a la noción de número natural, la necesidad de medir condujo a la noción de número racional positivo. Los números racionales positivos fueron usados por algunas de las primeras civilizaciones mucho antes de que aparecieran el cero y los enteros negativos.Consideremos una semirrecta y marquemos un punto sobre ella que nos sirva como unidad de longitud. La unidad de longitud se puede pensar como una representación del número natural uno. A partir de esta unidad podemos identificar los demás números naturales. Si dividimos el segmento unitario en n partes iguales, el primer punto de la subdivisión se denota con el símbolo 1/ n. El símbolo m/n se utiliza pararepresentar el punto obtenido al colocar m veces sobre la recta el punto 1/n. El uso de la palabra número (originalmente reservada a los números naturales) para referirse al símbolo m/n, se justifica por el hecho de que es posible sumar y multiplicar fracciones, ya que estas operaciones cumplen propiedades similares a las operaciones usuales de números naturales. 3. Números irracionales En el sigloV a.C. los matemáticos griegos descubrieron, para su sorpresa, que existían segmentos de recta que no son múltiplos racionales de un segmento unitario dado. Consideremos, por ejemplo, la longitud r de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos lados tienen por longitud la unidad. De acuerdo al teorema de Pitágoras, se 2 debe cumplir que r = 1 2 + 1 2 = 2. La demostración lapresentamos a continuación: Supongamos que existe un número racional r tal que r 2 = 2. Como r es racional, podemos representarlo en la forma: r = n/m. Podemos suponer además, sin pérdida de generalidad, que n y m no tienen factores comunes. La suposición de que r 2 = 2 implica que n 2 / m2 , esto a su vez implica 2 2 que n = 2 m2 , es decir, n es par. De aquí se sigue que n también debe ser par, es...