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Carlos Tenreiro

tenreiro@mat.uc.pt

Apontamentos de Medida e Integra¸˜o ca

Coimbra, 2000

Vers˜o de Dezembro de 2004 a

tenreiro@mat.uc.pt

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Nota pr´via e Os presentes apontamentos tˆm por base o curso de Medida e e Integra¸˜o leccionado no primeiro semestre dos anos lectivos de ca 1998/99, 1999/00 e 2000/01, a alunos do Ramo Cient´ ıfico, especializa¸˜o emMatem´tica Pura, do terceiro ano da licenciatura em ca a Matem´tica da Universidade de Coimbra. a Na elabora¸˜o deste texto, tal como na lecciona¸˜o do curso, asca ca sumimos, naturalmente, que o estudante tem conhecimentos s´lidos o ´ sobre as mat´rias leccionadas nas disciplinas de Algebra Linear e de e An´lise Infinitesimal dos dois primeiros anos da licenciatura. De ena tre estas, real¸am-se asrelativas ao integral de Riemann, quer num c contexto univariado quer multivariado. No entanto, como a abordagem ao integral de Riemann seguida nessas disciplinas de An´lise, a ca privilegia a vertente calculat´ria em detrimento duma constru¸˜o o rigorosa da entidade matem´tica, op¸˜o essa a que n˜o ´ estranha a ca a e a morosidade desta ultima abordagem, apresentamos num cap´ ´ ıtulo preliminar,mas de forma muito sucinta, as diversas etapas da constru¸˜o do integral de Riemann em IRd bem como os principais reca sultados e limita¸˜es deste integral. co No presente texto, surgem tamb´m t´picos, como os do teorema e o p da representa¸˜o de Riesz em L , do teorema da diferencia¸˜o de ca ca Lebesgue, ou da transformada de Fourier de medidas finitas em IRd , que n˜o foram abordados durante ocurso em qualquer dos a anos lectivos referidos. Carlos Tenreiro

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´ Indice

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1 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7

0 Integral de Riemann e medida de Jordan 0.1 Rectˆngulos em IRd . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 0.2 Integral duma fun¸˜o definida num rectˆngulo . . . ca a 0.3 Conjuntos mensur´veis e medida de Jordan . . . . a 0.4 Integral duma fun¸˜o definida nummensur´vel . . ca a 0.5 C´lculo de integrais m´ltiplos: Teorema de Fubini a u 0.6 Integrais param´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . e 0.7 Um teorema de convergˆncia . . . . . . . . . . . . e 0.8 Integral impr´prio de Riemann . . . . . . . . . . . o 0.9 Insuficiˆncias do integral de Riemann . . . . . . . . e 0.10 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Conjuntos e classes deconjuntos 1.1 Opera¸˜es com conjuntos . . . . co 1.2 Classes de conjuntos . . . . . . . 1.3 σ-anel gerado por uma classe . . 1.4 σ-´lgebras de Borel . . . . . . . . a 1.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . 1.6 Bibliografia . . . . . . . . . . . .

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2 Medidas e prolongamento de medidas 2.1 Fun¸˜es de conjunto e medidas . . . . . . . co 2.2 Propriedades das medidas . . . . . . . . . . 2.3 Medida exterior e medida induzida . . . . . 2.4 Constru¸˜o de medidas exteriores . . . . . . ca 2.5 Prolongamento de medidas . . . . . . . . . 2.6 Unicidade do prolongamento eaproxima¸˜o ca 2.7 Completamento de medidas . . . . . . . . . 2.8 Medida de Lebesgue em IRd . . . . . . . . . i

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