Exam Amp Cálculo

SOLUCIONES
´
´
AMPLIACION DE CALCULO. ETSI INDUSTRIALES. Septiembre 2013.

Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio

1
2
3
4
5
6
7

c, d
f
g
d
a
b
b

1. Determine cu´les de las siguientes proposiciones son verdaderas.
a
(a) Sea f una funci´n real definida y acotada en un rect´ngulo A de R3 . Entonces
o
a
la integral inferior de Riemannde f en A y la integral superior de Riemann de f en
A siempre coinciden. ￿
￿
(b) El conjunto A = (x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1 tiene contenido cero en R3 .
(c) El conjunto {0} × R tiene medida cero en R2
(d) La funci´n f : [−1, 1] × [−1, 1] → R definida por
o
￿
0 si x < 0
f (x, y) =
3 si x ≥ 0,
es Riemann-integrable.
(e) Ndla
Soluci´n: (c) y (d) La integral inferior de Riemann de fen A y la integral superior
o
de Riemann de f en A coinciden solo cuando f es integrable, por tanto (a) es
falsa. El conjunto en b) no es acotado por tanto no puede tener contenido cero. El
conjunto c) tiene medida cero en R2 porque {0} (un punto) tiene medida cero en
R (v´ase ejercicio 12a). La funci´n en d) es Riemann-integrable ya que el conjunto
e
o
de sus discontinuidades M = {(x, y) ∈[−1, 1] × [−1, 1] : x = 0} tiene medida cero
(Teorema de Lebesgue).
￿
2. Calcule
x dxdy , en donde M es la regi´n acotada limitada por la elipse
o
2

2

M

y
(x − 2)
+
= 1. Nota: Se puede ayudar de la f´rmula del baricentro y tener en
o
4
9
cuenta que el area de la elipse de semiejes a y b es abπ.
´

(a) abπ

(c) −36π

(b) π

(d) 6π

(e) 18π

(f) 12π

(g) abx(h) Ndla

Soluci´n: (f ) La primera coordenada del baricentro de una regi´n M es
o
o
￿
M x dxdy
b1 = ￿
.
M dxdy

En este caso, el baricentro es el centro de la elipse (2, 0), mientras que el area es
´
￿
M dxdy = 6π. En consecuencia,
￿
￿
x dxdy = b1
dxdy = 12π.
M

M

3z
3. Calcule la integral de superficie del campo escalar F (x, y, z) = ￿
2 + (x + y)2
sobre la superficie Sparametrizada por
r(u, v) = (u + v, u − v, u2 ),
(a) 0

(b) 1

√

(c)

3

(d)

√

2

(u, v) ∈ [1, 2] × [0, 3].

√
(e) 10 2

(f) x

√
(g) 21 2

(h) Ndla

Soluci´n: (g)
o
Como ru (u, v) = (1, 1, 2u), rv (u, v) = (1, −1, 0), N = ru × rv = (2u, 2u, −2), se tiene
√
que ￿N ￿ = 2 2u2 + 1, y resulta
￿
￿
F dS =
F (u + v, u − v, u2 )||N (u, v)||dv du
S

[1,2]×[0,3]3

=

￿ 2￿
1

0

￿
√
3u2
2 + 1dv du = 3 2
√
2 2u
2 + 4u2

￿

2

2

√

3u du = 21 2.
1

￿

1+i
4. Represente en la forma a + bi, con a, b ∈ R, el n´mero complejo z =
u
1−i
(a) 1 − i (b) 5i (c) −1 (d) i (e) −i (f) 1 + i (g) 5 + 5i (h) Ndla

￿5

.

Soluci´n: (d)
o

z=

￿

1+i
1−i

￿5

=

￿

(1 + i)(1 + i)
2

￿5

=

￿

1+i
√
2

￿10=

￿

πi
e4

￿10

=e

5πi
2

= i.

5. Calcule el residuo en el punto del infinito de la funci´n f (z) = z + 2z 2 + 3z 3 .
o
(a) 0

(b) 1

(c) −1

(d) 2

(e) −3

(f) i (g) 6i (h) Ndla

Soluci´n: (a)
o
Recordemos que la suma de los residuos de una funci´n anal´
o
ıtica en todo C =
C ∪ {∞} salvo en un subconjunto finito de singularidades aisladas es cero (v´ase
eProposici´n 21.11). Como en este caso la funci´n es entera (anal´
o
o
ıtica en todo C),
se tiene que Res(f, ∞) = 0. Podemos razonar tambi´n del siguiente modo. Para
e
calcular el residuo en el punto del infinito escogemos un radio R0 > 0 de modo que
f sea anal´
ıtica en {z ∈ C : |z| > R0 }. Elegimos ahora una circunferencia γ centrada
en 0 de radio R > R0 recorrida una vez en sentidocontrario a las agujas del reloj.
Se tiene que
￿
−1
Res(f, ∞) =
f.
2πi γ
Como en este caso f es tambi´n anal´
e
ıtica en la regi´n acotada por γ, tenemos que
o
￿
γ f = 0 y por tanto Res(f, ∞) = 0.
6. Clasifique la singularidad z = 0 de la funci´n f (z) =
o

cos(z)
.
sen(z)

(a) evitable (b) polo simple (c) polo de orden 2 (d) polo de orden 3 (e) Ndla
Soluci´n: (b) Aplicamos la...