Examen 1

Examen 1
1) Encuentre una condición sobre los números a y b tales que


Solución:
Para que S sea base de , se debe cumplir:
1. S genere a
2. S sea linealmente independiente.
Entonces:
1. Ses l.i.:




Para que S sea l.i., deben ser cero, entoces:
Si
De
Para b: de :
Como:

2. S genera a :

Si



Como: no se puede establecer una relación entre m y n
Para que S sea unabase de se debe cumplir que: a=b


2) Sean los subespacios vectoriales



Halle
Solución:
sean:



Entonces:






Como: Número de ecuaciones < incógnitas ; el sistema posee infinitas solucionesSi:



Por lo tanto: como no se puede establecer ninguna relación con a, b, c y d

3) Analice si es un subespacio vectorial de ; si fuera asi ¿Cuál es la dimensión de S?

Solución:
Para que S seasubespacio vectorial de debe cumplir las siguientes condiciones:
1. ¿?
porque :
2. Sean:





Se cumple la condición.
3.

Entonces:
por
Por lo tanto: Como se cumple las condiciones 1, 2 y 3se concluye que S es subespacio vectorial en y la


4)
Halle una base y dimensión S.

Solución:
4.-


es base para S
Dim S = 3

5) Encuentre la base estándar del espacio vectorial

Solución:5.- encuentre la base estándar para



Base estándar de



Examen 2
1) Sean los subespacios vectoriales


Halle la en caso de ser posible
solución:
Para que sea suma directa se debe cumplirque

Entonces:
i)




ii)


Luego: como no se puede establecer ninguna relación entre x, y, z

Como se cumple la condición i) y ii) entonces se concluye que:

Por lo tanto :


2) Analice si latransformación lineal


es un automorfismo.
Solución:
Para que T sea un automorfismo, se debe cumplir que T sea un monomorfismo y un isomorfismo, entonces:

1. ¿T es monomorfismo?


De la ecuación (1) y(2):


De la ecuación (3):
De la ecuación (4):
Entonces:




2. ¿T es epimorfismo?




De la ecuación (1) y (2):


De la ecuación (3):
De la ecuación (4):
Como no se puede establecer...