Examen 1P

PRIMER PARCIAL
MAT-99
I-2012
1. Mar´ y Jorge, tiene 25 canicas blancas, 15 canicas azules y 90 canicas
ıa
rojas y quieren hacer el mayor n´mero de collares iguales sin que sobre
u
ningunacanica. ¿Cu´ntos collares iguales pueden hacer?, ¿Qu´ n´mero
a
eu
de canicas de cada color tendr´ cada collar?.
a
Soluci´n: Notemos que 25 = 5 × 5, 15 = 3 × 5, 90 = 2 × 3 × 3 × 5
o
entonces mcd(25,15, 90) = 5, luego pueden hacer 5 collares, cada uno
con 5 canicas blancas, 3 azules y 18 rojas.
2. Simplificar

(i − 2i−1 )3 · (i − 3i−1 )2
(i + 2i−1 )2 · (i + 3i−1 )3

Soluci´n:
o
(i − 2i−1)3 · (i − 3i−1 )2
(i + 2i)3 · (i + 3i)2
=
(i + 2i−1 )2 · (i + 3i−1 )3
(i − 2i)2 · (i − 3i)3
(3i)3 · (4i)2
=
(−i)2 · (−2i)3
(−27i) · (−16)
=
(−1) · (8i)
= −54
3. Simplificar
aa −1

2 +1a−aa

a−a2

aaa+1

Soluci´n:
o
aa −1

2 +1

a−aa

a−a2

aaa+1 =
=
=

1

aa −1

aa −1

√

aa −1

a−aa

2 +1

· a−a2

2 +1−a2

a−aa

a−a · aaa+1

aaa+1

·aaa+1

√

aa −1

a−a · aaa+1 =
=
=

√

aa −1

√
aa −1
√
aa −1

a−a+aa+1
a−a+aa ·a
aa (aa −1)

a (aa −1)

= a aa −1
= aa .

4. Si la suma de los coeficientes del cociente dela divisi´n:
o
2xn−1 + 3xn−2 + · · · + nx + n + 1
2x − 1
es 28. Hallar el resto.
Soluci´n:
o
234
1
2

5

···

123

···

246

8

···

n

n+1
n

2(n − 1)

2n + 1entonces los coeficientes del cociente son 1, 2, 3, · · · , n − 1 y su suma
es 28. Entonces
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
por lo tanto n = 8 y el resto es 2n + 1 = 17
5. Simplificar:
a−b
a2
2ab − b2(a2 − b2 )2 ÷ 2
−
a2 + 2ab + b2
a + 2ab + b2
(a + b)2

2

Soluci´n:
o
a−b
a2
2ab − b2
(a2 − b2 )2 ÷ 2
−
a2 + 2ab + b2
a + 2ab + b2
(a + b)2
=

a2
2ab − b2
a−b
[(a − b)(a +b)]2 ÷
−
(a + b)2
(a + b)2
(a + b)2

=

2ab − b2
a−b
a2
[(a − b)(a + b)]2 ÷
−
(a + b)2
(a + b)2
(a + b)2

=

a−b
a2 − 2ab + b2
(a − b)2 (a + b)2 ÷
(a + b)2
(a + b)2

=

(a −...