Examen Matematica Basica 2

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CLAVE DE EXAMEN

CURSO

Matemática Básica 2

SEMESTRE

Segundo

CODIGO DEL CURSO

103

FECHA DE EXAMEN

24 de Septiembre de 2007

NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIO EL EXAMEN

Javier Espinoza

NOMBRE DE LA PERSONA QUE DIGITALIZO EL EXAMEN

David Estuardo Galindo Cruz

UNIVERSIDAD DESAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICA AREA MATEMATICA BÁSICA 2 PRIMER EXÁMEN PARCIAL

Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en el cuadernillo de trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro del cuadernillo de trabajo. El tiempo de la prueba es de 80 minutos. Problema 1:(20 puntos)Calcule el límite en cada caso utilizando propiedades de los límites. a)
8  (2  x) 3 lim x x 0

b)

lim
x 0 

1  cos x x

Problema 2: (15 puntos) Determine el valor de las constantes a y b, tales que la función sea continua en toda la recta rea. Luego determine si la función es derivable en toda la recta real, si no lo es, diga en que punto no es derivable

si x  1   2   f( x)  ax  b si  1  x  3  2 si x3   

Problema 3 (15 puntos) La figura muestra la grafica de una función f. Determine ¿en que intervalos la funcion es continua? b) ¿en que puntos la funcion no es derivabe; ) c)La farica de f ' '

Tema 4 (15puntos) Utilice las reglas de la derivación para calcular la primera derivada, simplifique la respuesta.
5 4

a)

f ( x)  (t 2  1) 2 (t 3  5) 3

b)

y

1 cos 2 sin 4 x  2

Problema 5: (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función f ( x)  4 x  x 2 y que pasa por el punto(9/2,0)

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RESOLUCION

PROBLEMA 1 Calcule el límite en cada caso utilizando propiedades de los límites. a)
8  (2  x) 3 lim x x 0

b)

lim
x 0 

1  cosx x

a)

8  (2  x) 3 2 3  (2  x) como  lim lim x x x 0 x0 a 3  b 3  ( a  b )( a 2  2 ab  b 2 ) entonces 2 3  (2  x) 3 ( 2  2  x )( 4  4  2 x  4  4 x  x 2 )  lim  x x x0

lim
x0

lim
x0

 x (12  6 x  x 2 )  lim (12  6 x  x 2 ) valuando tenemos x x0 - 12 - 6(0) - (0 2 )  12

b)

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lim
x0 

1  cos x 1  cos x 1  cos x  lim *  x x 1  cos x x 0 

1  cos 2 x sin 2 x  lim lim x 1  cos x x0 x 1  cos x  x 0  sin x 1 *  aplicando L' Hoppital en x 1  cos x d sin x cos x dx lim d  lim 1  1 entonces x 0  x 0  x dx  1 1 1    1  cos 0  2 1  cos x 

lim
x 0 

sin x lim x tenemos x 0 

lim1 
x 0 

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PROBLEMA 2 Determine el valor de las constantes a y b, tales que la función sea continua en toda la recta rea. Luego determine si la función es derivable en toda la recta real, si no lo es, diga en que punto no es derivable

si x  1   2   f ( x)  ax  b si  1  x  3  2 si x3   

Para que haya continuidad en unpunto c, lim f ( x)  lim f ( x), entonces
x c  x c 

lim f ( x)  lim
x  1 x  1

f ( x)

lim f ( x)  lim f ( x)
x  3 x 3 

lim 2  lim ax  b
x  1 x  1

lim ax  b  lim  2
x 3 x 3

2  a  b b  2a

3a  b  2 3a  2  a  2 4a  4 a  1 y b 1

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PROBLEMA 3 Lafigura muestra la grafica de una función f. Determine ¿en que intervalos la funcion es continua? b) ¿en que puntos la funcion no es derivabe; ) c)La farica de f ' '

a) La función es continua en [-1,3) u (3,  ) b) No es derivable en x=0 y en x=3 puesto que en esos valores la función no esta definida c) Grafica de f ‘

f(x) línea negra f ‘(x) línea roja

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