Examen

EXAMEN 1ER PARCIAL 1a EV MAT II 29/10/10 o ALUMNO______________________________2 Bch___ 1) Demostrar que limx→2 límite y para M=1000
x x−2 |x|

x x−2
|x|

= ± ∞

utilizando la definición de
1|x| 1

= |x − 2| > 1000 ⇒ |x − 2| < 1000 ⇒(*) |x − 2| < 1000 < 1000 ⇒ δ = 1000

(*) como 1 < x < 3 cuando x → 2 acotando |x| inferiormente por 1 2) Calcular los siguientes límites a) limx→+∞ a)limx→+∞ b) limx→+∞ e
1 −1 −sen · x x2 limx→+∞ −1 x

1 x
ln
1 x

ln

1 x

b) limx→+∞
1 1

cos

1 x

x

c) limx→1 √

√

x−1 x −1

1 x

= 0−∞ = 0+∞ = 0+ = + ∞
x

cos =e

1x

= 1∞ = e
1

1 limx→+∞ (cos x −1)·x

limx→+∞

= e

1 (cos −1) x 1 x

= LH =

limx→+∞ −sen x

√ √ ( x − 1 )( x + 1) 0 = limx→1 (√x − 1)(√x + 1) √0 x+1 2 simplificamos = limx→1 √x − 1= 0 = + ∞

c) limx→1

√ x−1 √ x−1

= e0 = 1 = limx→1
√ √ ( x − 1 )( x + 1) x−1

=

=

3) Hallar a y b para que f (x) sea una función derivable f (x) = sol: continuidad x ln x 0< x 1
√1+ x √ 1− x
1 √ 1 2(1 + x)

4) Deriva las siguientes funciones y simplifícalas: a) f (x) =
arctg(
√ √ x) x

b) f (x) = ln
1 √ 2 x√ x 1+x

c) f (x) = (ln x)x

2

+1

a) f (x) =

√arctg( x ) √ x

f =

√ − arctg x · x

2

x

=

− x

√ arctg x √ 2 x

=

√

√ x − (x + 1)arctg x √ 2x x (x + 1)
1 √

b) f (x) = ln
1 1 √ √ ( 4 x 1+ x

+ 1 − √x ) =

√ 1+ x √ 1−x
1

√ √ 1 = 2 (ln(1 + x ) − ln(1 − x )) √ √ 1− x +1+ x 1 1 √ ( ) = 2√x (1 − x) 1−x 4 x
1

f =

1 2 x ( √ 2 1+ x

−

−

1 √ 2 x

1−

√

x

)=

c) f (x) = (ln x)x

2 +1

f= (x2 + 1)(ln x)x

2

1 x

+ (ln x)x

2 +1

· ln (ln x) · 2x

5) La recta y = 2x − 1 es tangente a la función f (x) = x3 + a x2 + b x + 2 en el punto de abcisa x = − 1. Calcular a y b.Como la pendiente de la recta tangente es 2 ⇒ f ( − 1) = 2 y como la recta tangente tiene el mismo valor en x = − 1 que la función ⇒ f ( − 1) = 2 · ( − 1) − 1 = − 3 f (x) = 3x2 + 2ax + b ⇒ f ( − 1) = 2...