Examen

Foglio 1, Esercizi di Geometria 2012/2013, P.B. 1. Per quali valori di m e q in Z la funzione f : Z → Z, f (k) = mk + q per ogni k ∈ Z, ` iniettiva? Per quali valori ` suriettiva? Nei casi in cui ` ee e biettiva descrivere la funzione inversa. 2. Se A e B sono insiemi finiti con rispettivamente n e m elementi. Quanti elementi ha il prodotto cartesiano A × B? E se p ` un numero naturale epositivo, quanti elementi ha l’insieme Ap ? 3. (a) Se A ` un insieme qualsiasi, si pu` definire l’insieme delle parti di A, e o cio` l’insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di A. Se A ` un e einsieme finito con n elementi, quanti elementi ha l’insieme delle parti di A? (b) Se A e B sono insiemi finiti con rispettivamente n e m elementi. Quante sono le funzioni che si possono definire da A a B? (c)Sia A un insieme qualsiasi. Costruire una funzione biettiva dall’insieme delle parti di A all’insieme delle funzioni da A a {0, 1}. 4. Trovare un esempio di due funzioni f, g: A → A che noncommutano, cio` e f ◦ g = g ◦ f. 5. Mostrare che N e Z non sono campi. √ √ 6. Mostrare che Q( 2) = {a + b 2 ∈ R | a, b ∈ Q} ` un campo. e 7. Sia K un campo. Per quali valori di a e b in K l’equazione ax + b =0 ammette soluzioni in K? Descrivere l’insieme delle soluzioni al variare di a e b. 8. Sia A un insieme qualsiasi e K un campo. Possiamo definire la somma e il prodotto di due funzioni f e g da A a K.Per ogni a ∈ A, (f + g)(a) = f (a) + g(a), (f · g)(a) = f (a) · g(a). Mostrare che l’insieme delle funzioni da A a K con tali operazioni non ` e un campo, a meno che. . . 9. Mostrare che l’insiemeK[t] dei polinomi non ` un campo. e 10. Dati f (t) = 2t5 − 3t4 + 4t3 e g(t) = t3 − 3t in Q[t]. Determinare due polinomi q(t) e r(t), in Q[t], tali che f (t) = q(t) · g(t) + r(t) e il grado di r(t) siaminore del grado di g(t).

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11. Mostrare che se p(t) ` un polinomio a coefficienti interi, ogni sua radice e r/s ∈ Q dove r e s sono interi relativamente primi ` tale che r divide il e termine...