extremos condicionados

Extremos condicionados - Método de los Multiplicadores de Laplace
Ejercicios seleccionados de los textos:
• Cálculo, Trascendentes tempranas – J. Stewart – 6° edición
• Calculus – T. Apostol – Vol II
• Cálculo Vectorial – J. Marsden, A. Tromba – 3° edición

1) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r .
2) Calcule los valores extremos de f ( x,y )  e  xy en la región descripta por la desigualdad

x 2  4 y 2  1.
3) Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores máximo y mínimo de la función
f ( x, y , z )  xyz sujeta a la restricción x 2  2 y 2  3z 2  6 .
4) Hallar los puntos de la curva intersección de las dos superficies x 2  xy  y 2  z 2  1
2

y

2

x  y  1 que están más próximos al origen.
5)Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxima y mínima de
un punto de la elipse x 2  4 y 2  4 a la recta x  y  4 .





6) Considerar la función f ( x, y )  x 2  xy  y 2 en el disco unitario D  ( x, y ) / x 2  y 2  1 .
Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar los puntos máximo y mínimo
para la f en el círculo unitario.Usar esto para determinar los valores máximo y mínimo absolutos
de f en D.

Soluciones
1) Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscripta en una esfera de radio r

Comencemos con un esquema. Llamemos con a, b y c a las dimensiones de la caja rectangular
inscripta en la esfera. Cómo la esfera de radio r y la caja rectangular son simétricas respecto al origen,
podemos dibujarun corte con un plano que pase por el origen de coordenadas y obtenemos el esquema
siguiente (el eje x está saliendo de la hoja):

r
b

La función que debemos maximizar es el
volumen de la caja, es decir, a.b.c, sujeto a la
restricción de que los vértices de la caja estén
sobre la esfera.
Una vez ubicado el sistema de coordenadas,
observamos que

a  2x
b  2y
c  2z
Y larestricción está dada por la ecuación

x2  y2  z 2  r 2
c
La función volumen queda expresada por V ( x, y, z )  8 xyz con x  0, y  0, z  0
Llamemos g ( x, y , z )  x 2  y 2  z 2 . Nuestro problema queda expresado así:

Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II

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V ( x, y, z )

Maximizar
Sujeto a

g(x,y,z) = r2

Apliquemos el método demultiplicadores de Lagrange a éste problema. El sistema que debemos
resolver es:

8 yz   2 x
8 xz   2 y

 
8 xy   2 z
x 2  y 2  z 2  r 2


V ( x, y, z )   g ( x, y, z )

2
 g ( x, y , z )  r

Como x , y y z son positivos, λ es no nulo y podemos multiplicar la primer ecuación por x, la segunda
por y y la tercera por z y dividir por λ para obtener el sistema equivalente:4 xyz /   x 2

2
4 xyz /   y

2
4 xyz /   z
x 2  y 2  z 2  r 2

Las primeras tres ecuaciones nos dicen que x 2  y 2  z 2 y reemplazando en la última ecuación
obtenemos

3x 2  r 2  x  r / 3,

y   4r

3

x0
Además

x2  y2  z 2


  x yzr
x  0, y  0, z  0 
Luego el volumen máximo es V (

r
3

,

r
3

2) Calcule los valoresextremos de

,

r
3

3

)  8r 3 / 3 3 

8
9

r3 3

f ( x, y )  e  xy en la región descripta por la desigualdad

x2  4 y2  1
Observemos que la región



B  ( x, y )  R 2 / x 2  4 y 2  1



es una región cerrada y acotada, por lo
tanto la función f alcanzará en B su
máximo y mínimo en el interior o en la
frontera.
Para hallarlos, trabajaremos en dos etapas:

Buscaremos los puntos críticos de f resolviendo el sistema f  (0,0) y nos quedaremos sólo
con aquellos puntos que sean interiores a B (puntos que verifican x 2  4 y 2  1 ).

Prof. Julieta Recanzone – Extremos Condicionados – AM II

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

Buscaremos valores extremos en la frontera de la región B (elipse de ecuación x 2  4 y 2  1 )
mediante el método de los...