Extremos

Cálculo en Varias Variables
IND3-1 2014-02
Prof: Magaly Alvarez Silva
EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1. Puntos Extremos: Sea f : D   n   una función definida en un conjunto abierto D.Se dice que f
tiene un :
 Máximo en el punto x0  D , si f x0   f ( x) , x  Bx0 ,  
 Mínimo en el punto x0  D , si f x0   f ( x) , x  Bx0 ,  

2. Punto Crítico: El punto x  D en elque todas las derivadas parciales de la función f : D   n   ,
se “anulan” se le llama punto crítico (ó punto estacionario) de la función. También son llamados puntos
críticos, los puntos dondelas derivadas parciales no existen.
3. Matriz Hessiana: Sea f : D   n   una función definida en el conjunto abierto D de n u sea

x  D . Suponga que las derivadas parciales de segundo orden

2 fexisten en P. A la matriz
xi x j

cuadrada de orden n .

 2 f

2 f
2 f





x
,
y
x
,
y

x0 , y 0  

0
0
0
0
x 2 x1
x n x1
 x12

 2 f

2
2
 f
 f

2 f
x0 , y0 
x0 , y0
H ( x0 , y 0 ) 
( x0 , y 0 )   x x x0 , y 0 
2

x

x

x2
1 2
n 2
xi x j





 2

2 f
2 f
  f x , y 
x , y 
x0 , y0  
2
 x1xn 0 0 x2 x n 0 0
xn


Se lellama matriz Hessiana , donde ( x0 , y0 ) es un punto crítico.
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS LOCALES

 2 f

2 f


x0 , y0 
x
,
y
 2 0 0
yx

1. Para el caso de dosvariables z  f ( x, y) donde H  x0 , y 0    x2
2
 f

x0 , y0   2f x0 , y0 

y
 xy

Criterio de la segunda derivada:
TEOREMA: Sea f :U   2   una función definida en un conjuntoabierto, sus derivadas parciales
son continuas. Sea

2 f

x0 , y0  ,   det H x0 , y0 
x 2
a. Si   0 y A  0 , entonces la función f tiene un mínimo relativo en x0 , y 0  .
b. Si   0 yA  0 , entonces la función f tiene un máximo relativo en x0 , y 0  .
A

c. Si   0 , entonces la función f tiene un punto de ensilladura en x0 , y 0  .

d. Si   0 , no se puede afirmar...