Fabian

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.

Tel.: 4255-5424

TRIANGULANDO SOY FELIZ
Y SI SOY FELIZ ES PORQUE TE TENGO A TI LA GENTE ME VE, VOLANDO POR LAS NUBES HACIA EL SOL
Y NO PUEDE CREER LO QUE VE...

(ESTO ES PARTE DE UNA CANCIÓN DE UN GRUPO LLAMADO LOS TIOS QUERIDOS, QUIENES TENGAN MÁS DE 45 QUIZÁS LO RECUERDEN), VOLVAMOS AL ÁLGEBRA...
Presentación: aquí vamos a ver sin dibujos ni cosas por elestilo, un método para operar con matrices que sirve para muchas cosas (obviamente todas relacionadas entre si). Es importante no tenerle miedo a la Triangulación, y el miedo se pierde haciendo muchos ejercicios, uno tras otro. Dominando el arte de triangular, los Espacios Vectoriales son “pan Comido”.

¿QUÉ ES UN TRIANGULAR?
Triangular es hacer operaciones (validas) sobre las filas dematrices (cuadradas o no) y obtener de esa manera matrices equivalentes, es decir que representas elementos equivalentes (por ejemplo ecuaciones equivalentes). Ojo que siempre hablamos de operaciones entre filas, no entre columnas. Luego de estas operaciones vamos a tener una matriz equivalente con los elementos que quedan debajo de la diagonal principal (todos Nulos). Matriz no triangulada Matriztriangulada

7 8 6 ⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ 8 −5 6 ⎟ ⎜ 7 ⎜− 4 −1 0 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 9 8 1 1 ⎟ 2⎠ ⎝

⎛3 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

0 9 0 0 0

9 8 9 8 − 2⎞ ⎟ 0 9 0 90 89 ⎟ 6 7 − 2 −1 8 ⎟ ⎟ 0 − 4 −1 0 0 ⎟ 0 0 −3 1 2 ⎟ ⎠

Cuáles son la operaciones que se pueden hacer entre filas (las válidas). Cambiar de lugar las filas, o sea cambiar una fila por otra Multiplicar o dividir una fila por un mismo valor. Sumar o restar una filaa otra. Sumar a una fila una combinación lineal de otras filas (esto es consecuencia de las anteriores). Una combinación lineal es una suma o resta de filas multiplicadas o divididas cada una por un escalar Un escalar es un número real a secas) Operaciones no válidas Sumar un escalar a una fila Multiplicar dos filas entre sí. Eliminar filas alegremente. ¿Para que me sirve Triangular una matriz? Siestoy con sistemas de ecuaciones, para hallar un sistema equivalente (que tenga los mismos valores solución) pero más sencillo. Si trabajo en Espacios Vectoriales, para detectar Dependencias Lineales entre vectores y saber si son bases o no, o para partir de un Sistema de Generadores de un Sub Espacio Vectorial y obtener la ecuación que representa a ese Sub Espacio Vectorial. Para noaburrirme.... ¿? Pag. 1 de 7

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Triangulandofeliz04.doc 14/12/2005

Ing. José Luis Unamuno & Asoc.
Para hallar la inversa de una matriz.

Tel.: 4255-5424

Vamos a ver como triangular con unos ejemplos sencillos que deben dar valores redondos y fáciles de calcular. A las filas las vamos a representar con F1, F2, F3, ... Una matriz de 3x3

F1 F2 F3

⎛3 1 7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 6 4 18 ⎟Hacemos ⎜ 6 2 19 ⎟ ⎝ ⎠

F2 – 2 . F1 y F3 – 2 . F1

Porque hacemos estas operaciones, la cosa está media cantada, haciendo estas operaciones convertimos en 0 los primeros valores de F2 y F3 y así nos acercamos a nuestro objetivo

1 7 ⎞ ⎛ 3 ⎛ 3 1 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 6 − 2.3 4 − 2.1 18 − 2.7 ⎟ = ⎜ 0 2 4 ⎟ ⎜ 6 − 2.3 2 − 2.1 19 − 2.7 ⎟ ⎜0 0 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ya está. Muy fácil, salió de primera

Algo quepodemos decir siempre, no importa para que uses las matrices es que si al triangular no se te anula fila alguna, las filas son Linealmente Independientes entre si, es decir que ninguna fila puede obtenerse como combinación lineal de las otras. Otro concepto importante es el de Rango. El rango de una matriz es la cantidad de filas Linealmente Independientes que tiene una matriz. En el ejemplo anteriores 3. Otro ejemplo facilísimo.

⎛0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜3 ⎝

0 1 0 5

2 0 0 3

3⎞ ⎟ 9⎟ 3⎟ ⎟ 6⎟ ⎠

La F4 la pongo en primer lugar La F2 en tercer lugar La F3 la mano debajo de todo, ordenando las filas ya se resolvió

⎛3 ⎜ ⎜0 =⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

5 1 0 0

3 0 2 0

6⎞ ⎟ 9⎟ 3⎟ ⎟ 3⎟ ⎠

Una matriz de 4 filas por 6 columnas

4⎞ ⎛ 4 7 1 −4 5 ⎜ ⎟ ⎜ 8 17 0 − 5 17 13 ⎟ ⎜ 4 4 8 − 5 0 − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 20 38 3...