Factor común

FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1


EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)


8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números.



EXPLICACIÓN:

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis (¿por qué el 4?). A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4,y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término:

8a : 4 = 2a este término dió "positivo"

Segundo término:

-4b : 4 = -b este término dió "negativo"

Tercer término:

16c : 4 = 4c

Cuarto término:

12d : 4 = 3d ( ¿Cómo se hacenestas divisiones? )


De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4".


Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían. (¿Por qué?)






CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué el número 4?

Losnúmeros 8, 4, 16 y 12, son divisibles 4. Como en todos los términos hay números divisibles por 4, se dice que "hay factor común 4". (¿Qué significa "divisible"?). Es decir que el número 4 está multiplicando en todos los términos, porque veamos:

8 es igual a 4 x 2
4 es igual a 4 x 1
16 es igual a 4 x 4
12 es igual a 4 x 3

Como el número 4 está multiplicando en todos los términos, es un"factor común".
(¿Qué es "factor" y por qué "común"?)

Ahora, no sólo son divisibles por 4, sino también por 2, y hasta por 1. Pero tenemos que sacar el mayor número posible que divida a todos los términos, y ese número es el 4. Es el llamado Máximo Común Divisor (M.C.D o D.C.M). (¿Por qué tiene que ser el mayor número posible?)
Si no podemos darnos cuenta intuitivamente de cuál es ese número,entonces podemos usar la regla del D.C.M para calcularlo. (¿Cómo se calcula el D.C.M o M.C.D?). Es decir que el "factor común" que nos piden sacar entre varios números es su Máximo Común Divisor.


Un ejemplo donde no haya factor común entre los números:

3a2b + 5ac + 7a3d =

Aquí no hay un número que sea factor común, ya que 3, 5 y 7 no tienen ningún divisor en común, es decir, no sondivisibles por ningún otro número que no sea el 1 (y el 1 no se tiene en cuenta como factor común, pues dividir por 1 no cambia nada).


Cómo se hacen las divisiones de los términos (división de monomios)

Números con números y letra con letra igual, pues se trata de una división de monomios.
(¿qué es un monomio?)

Ejemplos de divisiones entre monomios:

8a : 4 = 2a Divido número connúmero y letra con letra igual. En este caso sólo se puede dividir el 8 con el 4, porque no hay otra letra "a".


7a5 : a2 = 7a3 En este caso sólo se puede dividir la letra "a", restando los exponentes, por la propiedad de las potencias de igual base. a5 : a2 = a5 - 2 = a3
(división de potencias de igual base)


-6a7 : 3a2 = -2a5 Divido el 6 : 3 y dá 2. Divido a7 : a2 y dá a5 . Elresultado es negativo porque "menos por más = menos". (Regla de los signos para multiplicación y división)


2a6 : 2a = a5 En este caso tenemos 2a, que significa 2a1, ya que el exponente "1" no se pone. Y 2 dividido 2, que dá 1. Tampoco se pone el número 1 multiplicando (a menos que sea lo único que queda del término)

3a2 : 3a2 = 1 En este caso sí ponemos el 1.

(Divisiones como estasexplicadas con más detalle: EJEMPLO 2 , EJEMPLO 3 , EJEMPLO 4, etc)


¿Por qué si saco factor común positivo todos los términos quedan con el mismo signo que ya traían?

Se puede comprobar fácilmente por la regla de los signos. En los siguientes ejemplos, donde divido por el número positivo "+4", se ve con claridad:

+12 : +4 = +3 Porque "más por más = más". El resultado tiene el mismo...