factorizaci n por teorema de Gauss

REGLA DE RUFFINI

La regla de Ruffini es un procedimiento que permite obtener los coeficientes del cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y un binomio de la forma x + a, sin efectuar la operación habitual.
Por ejemplo: si queremos calcular el cociente y el resto de la división de P(x) = 5x3 + 2x – 5
Por Q(x) = x + 2, la regla consiste en lo siguiente:
a) Enuna fila se escriben los coeficientes del dividendo completo según las potencias decrecientes de la variable.
5 0 2 -5
b) Se traza una cruz, como indica la figura, y en el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término independiente del divisor

5
0
2
-5
-2










c) En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente, el primero de los cuales es el primero deldividendo.

5
0
2
-5
-2





5




d) Los restantes coeficientes del cociente se obtienen multiplicando al anterior obtenido por el número que figura en el ángulo izquierdo y sumando este producto (que se coloca en la segunda fila), al correspondiente coeficiente de la primera fila. Así:

5
0
2
-5
-2

-10
20
-44

5
-10
22
-49
e) El último número así obtenido es el resto.

Como el grado deldividendo es siempre uno, el grado del cociente será una unidad menor, que el del dividendo, en nuestro ejemplo:
El cociente es C(x) = 5x2 - 10x + 22, y el resto es R = -49

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Sea por ejemplo P(x) = 5x3 -19x2 + 4x + 28, le podemos asignar un valor numérico a x, por ejemplo x = 0, reemplazando P(0) = 5.03 -19.02 + 4.0 + 28
= 28
Se dice que 28 es el valor numéricodel polinomio P(x) para x = 0
Para x = 1, P(1) = 5.13 -19.12 + 4.1 + 28,  P(1) = 18
Para x = 2 P(2) = 5.23 -19.22 + 4.2 + 28  P(2) = 0
Por lo tanto, el valor numérico de P(x) para x = 1 es 18 y para x = 2 es 0.
En general, se dice que P(a) es el valor numérico asociado al polinomio P para x =a.
Si en el polinomio P(x) interpretamos a la indeterminada x como a una variable quepuede tomar cualquier valor de un conjunto dado, podemos pasar del concepto de polinomio al de función polinómica, simplemente con el cambio formal de interpretación del símbolo x.
Analicemos la siguiente situación:
En una economía se aplica un plan, entre los años 2010 y 2013, con el fin de disminuir la inflación. En este tiempo la variación en el porcentaje del índice de precios al consumidor“P” se describe mediante:
P(x) = 5x3 -19x2 + 4x + 28 ( 0 ≤ x ≤ 3)
Donde x se mide en años y x = 0 corresponde a 2010
¿En qué porcentaje varió el índice de precios al consumidor durante los años en que se tomaron dichas medidas económicas?

Para responder, debemos obtener el valor numérico de P(x)

En 2010 x = 0  P(0) = 5.03 -19.02 + 4.0 + 28 P(0) = 28 %
En 2011 x = 1 P(1) = 5.13 -19.12 + 4.1 + 28,  P(1) = 18 %
En 2012 x = 2  P(2) = 5.23 -19.22 + 4.2 + 28  P(2) = 0 %
En 2013 x = 3  P(3) = 5.33 -19.32 + 4.3 + 28  P(3) = 4 %

Nota: Si P(a) es igual a 0, se dice que a es una raíz del polinomio P(x).
En el ejemplo anterior 2 es raíz de P (x)


TEOREMA DEL RESTO

Consideremos elcaso de la división entre un polinomio P(x) y unbinomio Q(x) de la forma x+a.
Sean, por ejemplo: P(x) = 2x3 + x2 - 6x - 31 y Q(x) = x - 3
Aplicando la regla de Ruffini, conocemos el resto:

2
1
-6
-31
3

6
21
45

2
7
15
14

El procedimiento anterior, sin efectuar las operaciones, es el siguiente:


2
1
-6
-31
3

2.3
2.32+1.3
2.33+1.32-6.3

2
2.3+1
2.32+1.32-6
2.33+1.32-6.3-31


O sea: resto = 2.33 + 1.32 - 6.3 – 31
Observamos que elresto es P(3), es decir, el valor numérico del polinomio dividendo para x igual al opuesto del término independiente del divisor.
Esto se generaliza mediante el teorema del resto.


Por ejemplo:
El resto de la división entre P(x) = 2x2 + 3x – 3 y Q(x) = x + 2 es -1, pues:
Resto: P(-2) = 2.(-2)2 + 3.(-2) – 3 = 8 - 6 - 3 = -1
P(-2) = -1

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS...