Falsa

Series
Ejemplos:

Definición:
El símbolo griego sigma indica que el sumando [ en el último ejemplo] toma cada uno de los valores que debe recorrer partiendo desde el límite inferior hasta llegar al límite superior a través de los enteros. Como se indica, el sumando se suma tantas veces como el número de enteros que recorra .
El límite superior en los dos primeros ejemplos es 3 y en eltercero no se deja explícito,  puede tomar cualquier valor entero.  lleva la contabilidad de los términos incluidos en la suma y el valor más alto que toma es  (va desde  = 1 hasta  = , con  un número entero).
Es fácil demostrar la siguiente propiedad de las sumatorias: 
| (I3) |
donde  es una constante que no depende de k. En palabras, cada vez que tenemos un factor que se repite en cada uno delos términos de la sumatoria, lo podemos sacar como factor común en frente de la sumatoria. 
Para demostrarlo debemos usar la siguiente propiedad de los números:  Esta es la sumatoria anterior con 

Ejemplo(The College Mathematics Journal, Vol. 62, # 5, Dec. 89.) 
Demuestre la siguiente igualdad entre sumatorias:

Solución 
A continuación se incluye una demostración ingeniosa que hace uso delmétodo gráfico para demostrar la igualdad. 
Se escribe el mismo arreglo de números uno al lado de otro, como se indica en la Figura anterior. (No es natural, por supuesto, que a uno se le ocurra espontáneamente este tipo de demostración, es necesario mucho trabajo y un poco de ingenio). 
La idea consiste en sumar los números de los arreglos agrupados en forma diferente, de manera que reflejen acada una de las sumatorias propuestas. Como los números en ambos arreglos son iguales, el valor de la suma debe ser el mismo; de esta forma demostramos la igualdad entre ambas sumas. 
En esta Figuras se suman, en ambos casos, los números de acuerdo a la caja que los contiene (rectangular o formando un ángulo recto). El valor de la suma de cada una de las cajas se indica al pie de la mismaFigura. 
En el caso del arreglo ubicado a mano izquierda, se ha sacado -usando la regla de factorización recién descrita- un factor común en cada una de las sumatorias individuales, que corresponde al número , de acuerdo a la posición del rectángulo horizontal. En seguida uno puede darse cuenta que es posible sacar la sumatoria de  como factor común:

Dejamos como ejercicio comprobar que los términosal pie de la Figura de la derecha corresponden, efectivamente, a la suma de los números encerrados dentro de cada uno de los cajas en forma de ángulo recto. 
El mismo resultado puede ser obtenido usando geometría. Para ello debemos pensar que , corresponde al área de un terreno cuadrado que tiene  metros (por dar una unidad de longitud) por lado. A continuación se dibuja el terreno a escala (lalongitud 5, por ejemplo, tiene cinco unidades de largo) y se calcula el área en forma diferente. El número indicado dentro del cuadrado (o rectángulo), corresponde al valor del área de dicha figura; pero en lugar de sumar las áreas en forma arbitraria, las sumamos añadiendo franjas en forma de ángulo recto, es decir aquellas encerradas entre dos líneas continuas sucesivas que tienen la formaseñalada. Nuevamente, con este método se verifica la igualdad propuesta.  
Las series descritas anteriormente son finitas, pero el límite superior puede ser un número tan grande como uno quiera. En este caso el valor de la serie (es decir, el valor que toma la suma de todos los términos) debe ser un número finito para que sea de alguna utilidad.

En muchos de los casos de interés en física la serie(o la suma) no termina nunca, es decir el límite superior es infinito (). En este caso, si la serie está bien definida (es decir, su suma es finita), ocurre que al escribirla explícitamente, cada uno de los términos que van agregándose - a partir de un cierto valor de -, van tomando rápidamente valores (absolutos) más y más pequeños de manera que la serie tiende a un límite finito. Es decir, se...