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Valores y vectores propios
Problemas te´ricos
o
El los siguientes problemas se denota por L(V ) conjunto de los operadores lineales en un
espacio vectorial V (en otras palabras, de las transformaciones lineales V → V ). En la
mayor´ de los ejercicios se supone que V es un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre
ıa
o
un campo F. El caso principal es F = C.

Criterios de invertibilidadde un operador lineal
1. Determinante de la matriz asociada a un operador lineal no depende de
base (repaso). Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre un campo F, sea
o
T ∈ L(V ) y sean A y B bases del espacio V . Demuestre que
det(TA ) = det(TB ).
2. Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre un campo F y sea T ∈ L(V ).
o
Escriba la definici´n de det(T ). Explique porqu´ la definici´n es correcta.
o
e
o
3. Relaci´n entre la nulidad y el rango de un operador lineal (repaso). Sea V
o
un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre un campo F y sea T ∈ L(V ). Calcule
o
dim(ker(T )) + dim(im(T )).
4. Criterio de la invertibilidad de un operador lineal en t´rminos de su matriz
e
asociada (repaso). Sea V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre un campoF,
o
sea T ∈ L(V ) y sea B una base de V . Demuestre que T es invertible si y s´lo si la matriz
o
asociada TB es invertible.
5. Criterio de la invertibilidad de un operador lineal en un espacio vectorial
de dimensi´n finita (repaso). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, dim(V ) =
o
n < +∞, y sea T ∈ L(V ). Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) T esinvertible.
(b) T es inyectiva, lo que es equivalente a la igualdad ker(T ) = {0}.
(c) T es suprayectiva, es decir im(T ) = V .
(d) det(T ) = 0.

Valores y vectores propios, problemas te´ricos, p´gina 1 de 12
o
a

Polinomio caracter´
ıstico
6. Sean V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre un campo F, T ∈ L(V ) y B una
o
base de V . Demuestre que
(λI − T )B = λIn − TB .
7. Sea V unespacio vectorial de dimensi´n finita sobre un campo F y sea T ∈ L(V ).
o
Demuestre que el polinomio det(λIn − TB ) no depende de la base B.
8. Definici´n del polinomio caracter´
o
ıstico. Escriba la definici´n del polinomio cao
racter´
ıstico de un operador lineal que act´a en un espacio vectorial de dimensi´n finita.
u
o
Explique por qu´ la definici´n es correcta.
e
o
9. Polinomiocaracter´
ıstico de una matriz triangular. Sea A ∈ utn (F) ∪ ltn (F), es
decir, sea A una matriz triangular superior o inferior. Calcule CA .
10. Polinomio caracter´
ıstico de la matriz transpuesta. Sea A ∈ Mn (F). Demuestre
que CA = CA .
11. Polinomio caracter´
ıstico de una matriz de orden 2 con entradas generales.
Calcule CA , donde A es una matriz de orden 2 con entradas generales:
A=A1,1 A1,2
A2,1 A2,2

.

12. El grado del polinomio caracter´
ıstico. Sea A ∈ Mn (F). Demuestre que CA es
un polinomio de grado n.
13. F´rmulas para algunos coeficientes del polinomio caracter´
o
ıstico. Sea A ∈
Mn (F). Denotemos los coeficientes del polinomio caracter´
ıstico CA por c0 , . . . , cn :
CA (x) = cn xn + cn−1 xn−1 + . . . + c1 x + c0 .
Demuestre que:
1. cn = 1, es decir, CAes un polinomio m´nico.
o
2. cn−1 = − tr(A).
3. cn = (−1)n det(A).

Valores y vectores propios, problemas te´ricos, p´gina 2 de 12
o
a

Espectro, valores propios y polinomio caracter´
ıstico
14. Sean V un espacio vectorial sobre un campo F, T ∈ L(V ) y λ ∈ F. Demuestre que
las siguientes condiciones son equivalentes:
u ∈ ker(λI − T )

⇐⇒

T u = λu.

15. Sean V un espaciovectorial sobre un campo F, T ∈ L(V ) y λ ∈ F. Demuestre que
ker(λI − T ) = ker(T − λI).
16. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, sea T ∈ L(V ) y sea λ ∈ F. Demuestre
que las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) λ es un valor propio de T , o sea existe un vector v ∈ V \ {0} tal que T v = λv.
(b) ker(λI − T ) = {0}.
17. Teorema (varias descripciones del espectro de un operador...