Filtros Activos

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CAPITULO 5 FILTROS ACTIVOS
5.1. INTRODUCCIÓN. Un filtro activo es un circuito que contiene amplificadores operacionales. Normalmente un filtro de segundo orden contiene un amplificador operacional y un circuito RC. La figura 5.1 muestra el esquema básico de un filtro con realimentación negativa mientras que en la figura 5.2 se muestra el esquema de un filtro con realimentación positiva.Figura 5.1

Figura 5.2 A continuación se presentan las siguientes definiciones que nos ayudarán en el análisis.

168 1. Función de transferencia hacia delante.(Feedforward)
TF = V1 V2 V3 = 0

2. Función de transferencia hacia atrás.(Feedback) TB = V1 V3 V2 = 0

Aplicando el principio de superposición resulta:

V1 = TFV2 + TBV3
Topología con realimentación negativa.
Para el circuitode la figura 5.1, se tiene: V1 = Vn V2 = Vi V3 = Vo Sí se toma el modelo ideal del amplificador, estoe es, Vn = V p = 0 , resulta la función de

transferencia del circuito:
T (s) = Vo T =− F Vi TB

Tanto la función de transferencia TF como TB están asociadas al circuito RC, es decir, tienen los mismos polos. Lo anterior nos permite expresar la función de transferencia en la forma: Q ( s) /P( s) Q (s) T (s) = − F =− F QB ( s ) / P ( s ) QB ( s )

De acuerdo con el resultado anterior se puede afirmar que los ceros de la función de transferencia son los ceros de TF mientras que los polos son los ceros de TB .
Topología con realimentación positiva

Para el circuito de la figura 5.2, se tiene: V1 = V p V2 = Vi V3 = Vo Sí se toma el modelo ideal del amplificador, estoe es, Vn = V p =Vo / k , resulta la función de transferencia del circuito:

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V kTF T ( s) = o = Vi 1 − kTB Teniendo en cuenta lo planteado para la otra topología, resulta: T ( s) = kQF ( s ) / P( s ) kQF ( s ) = 1 − kQB ( s) / P( s) P( s ) − kQB ( s )

De acuerdo con el resultado anterior se puede afirmar que los ceros de la función de transferencia son los ceros de TF mientras que los polos son lasraíces del polinomio: P( s ) − kQB ( s )
Cualquiera que sea la topología la función de transferencia es una función bicuadrática de la forma: b s 2 + b s + b0 T (s) = K 2 2 1 a2 s + a1s + a0

Como se puede ver, la función bicuadrática presenta dos polos y dos ceros, de cuya ubicación depende el tipo de filtro.

5.2. FILTRO PASABAJAS DE SEGUNDO ORDEN.
A partir de la función bicuadrática, elfiltro pasabajas de segundo orden corresponde a los datos: b2 = 0 b1 = 0 . Lo anterior significa que la función de transferencia tiene dos polos finitos y dos ceros de transmisión en el infinito. Así las cosas, la función de transferencia se puede escribir en su forma canónica, así:

T (s) = K En la expresión anterior se tiene: K es la ganancia del filtro α es el amortiguamiento ω p es lafrecuencia de paso

ω p2
s 2 + 2αs + ω p
2

El amortiguamiento y la frecuencia de paso se relacionan entre sí mediante el factor de calidad: Q del circuito, así:

Q=

ωp 2α

170 A continuación se muestra una topología con realimentación positiva, conocida como Sallen and Key, cuya función de transferencia corresponde al filtro pasabajas de segundo orden. El amplificador operacional de lafigura 5.3 se considera ideal, es decir, el circuito se puede modelar como se indica en la figura 5.4, con k ≥ 1 .

x

Figura 5.3

Figura 5.4

Aplicando las leyes y principios resultan las ecuaciones: 1. Vi − Vx V − V0 / k = C1s (Vx − V0 ) + x R1 R2 2. Vx − V0 / k = C2 sV0 / k R2

El sistema en forma matricial es:
1  1 1   + C1s −  C1s +  + 1  R1 R2 kR2  Vx       = R1 Vi    C2 s 1 1   V0     − 0   k + kR    R2  2     

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Resolviendo para el voltaje de salida resulta:
kVi R1R2C1C2 s + [R2C2 + R1C2 + (1 − k ) R1C1 ]s + 1
2

V0 =

La función de transferencia se puede expresar en la forma:

1 R1R2C1C2 T ( s) = k  1 1 1− k  1 s2 +  s+ + +  R1R2C1C2  R1C1 R2C1 R2C2 
Por comparación con la forma canónica de la función de...