Fisica 12

Universidad Cat´
olica del Norte
Departamento de F´ısica
F´ısica II – CF412 y CF417

Soluci´
on primera prueba global CF412 y CF417
4 de septiembre, 2013

Nombre:

RUN:

Instrucciones: Escriba con letra clara y legible. Tiempo m´aximo 1,5 h. Recuerde que la prueba es
individual. No se permite el uso de celulares, tablets, etc.
1. Cuatro part´ıculas de cargas q1 = − q, q2 = + 2q, q3= + q y q4 = − 2q, se encuentran ubicadas
en puntos sobre un plano, como se muestra en la figura.
a) Calcular el campo el´ectrico total E
en el punto A, el cual se encuentra
en punto medio la l´ınea que existe
entre las cargas q3 y q2 .
b) Calcular el potencial el´ectrico total
en el punto B.
2. La figura muestra una golilla, de radio interior R y radio exterior 2R, la cual est´a cargadauniformemente con una carga total Q positiva, sobre su superficie.
a) Calcule la densidad de carga superficial σ.
b) Calcule la fuerza el´ectrica sobre
una carga q0 , ubicada sobre el punto P .
c) ¿Cu´
al es el potencial el´ectrico en el
punto P ?
3. Un cascar´
on esf´erico aislante, de radio interior R y radio exterior 3R, tiene distribuido dentro de
´el una carga el´ectrica, cuyadensidad volum´etrica variable es ρ = A/r, donde A es una constante
y r es la coordenada radial, es decir la distancia desde cualquier punto del cascar´on a su centro
(R < r < 3R).

a) Calcule el campo el´ectrico en el
punto P , ubicado a la distancia 2R
del centro del cascar´
on.
b) Obtenga el potencial el´ectrico en el
centro de la esfera hueca.

1

1. a) El problema consta de cuatrocargas puntuales, ubicadas seg´
un la geometr´ıa de la figura.
Consideraremos el campo el´ectrico creado por la carga qi como Ei . Primero notamos que es
sencillo escribir los campos creados por las cargas positivas, q2 y q3 , los cuales est´an dados por
E2 =

2kq
ˆ
a2

y

E3 =

−kq
ˆ.
a2

Para obtener los campos el´ectricos creados por las cargas q1 y q4 , escribiremos susvectores
posici´on y el del punto A, considerando el origen del sistema coordenado en punto donde se
ubica q2 . Estos son
rA = aˆ
 , r1 = −2aˆı y r4 = 2a(ˆı + ˆ) .
Luego, los campos el´ectricos son
(rA − r1 )
−kq
= √
(2ˆı + ˆ) ,
|rA − r1 |3
5 5a2
2kq
(rA − r4 )
= √
(2ˆı + ˆ) ,
E4 = k(−2q)
3
|rA − r4 |
5 5a2
E1 = k(−q)

con lo que el campo total E = E1 + E2 + E3 + E4 es
√
kqE= √
[2ˆı + (5 5 + 1)ˆ
] .
5 5a2
b) Sabemos que el potencial el´ectrico creado por una carga puntual q, sobre un punto a una
distancia r de ella, est´
a dado por V = kq/r, con lo que el potencial el´ectrico creado por cada
una de nuestras cargas puntuales, sobre el punto B, es
kq
,
4a
kq
=
,
a
kq
√ ,
=
2 2a
kq
= − ,
a

V1 = −
V2
V3
V1

por lo que el potencial total V= V1 + V2 + V3 + V4 es
V =

kq √
( 2 − 1) .
4a

2. a) La golilla de la figura es un objeto plano, que tiene distribuida sobre su superfice una carga
total Q de manera uniforme, por lo que la densidad de carga superficial en la golilla, σ, es una
constante y es el cuociente entre la carga y el ´area sobre la cual est´a distribuida, es decir
σ=

Q
Q
Q
=
=
.
2
2
A
π(4R − R )3πR2

b) Para obtener la fuerza que genera la golilla cargada sobre una carga q0 ubicada en el punto
P , primero calcularemos el campo el´ectrico en dicho punto, para esto escribiremos la posici´
on r
del punto P y la posici´
on r de cualquier punto de sobre la golilla, cargado con un elemento de
carga diferencial dq , las cuales est´
an dadas por
r = dkˆ

y

r = r cos(ϕ)ˆı + r sin(ϕ)ˆ,

2

donde r y ϕ son la variable radial y angular de coordenadas polares (o cil´ındricas con z = 0)
respectivamente. El elemento diferencial de carga de la golilla, dq , es el producto entre su
densidad de carga y un elemento diferencial de ´area de ella, es decir
dq = σrdrdϕ .
Luego, el campo el´ectrico ser´
a
E =

1
4πε0

=

1
4πε0

dq

r−r
|r − r |3

2R
R

2π
0...