Fisica Mas

Movimiento Armónico Simple
Ejercicio 1
Una partícula vibra con una frecuencia de 30 Hz y una amplitud de 5,0 cm. Calcula la
velocidad máxima y la aceleración máxima con que se mueve.
En primer lugar atenderemos a la ecuación del movimiento armónico simple dada por:

x = Asen(ω t + ϕ )
dónde A representa la amplitud del movimiento, ω la frecuencia angular y ϕ la fase inicial.
Atendiendo alos datos del enunciado tenemos los siguientes datos (los cuales es
obligatorio transformarlos al sistema metro/kg/segundo):
A = 5 cm = 0,05 m
ω = 2π f = 2π ⋅ 30 = 60π rad / s
Por tanto la onda queda expresada como:

x = 0, 05 sen(60π t + ϕ )
En este caso la fase inicial no se haya especificada en el problema. Sin embargo para
resolver el ejercicio es no es necesaria.
Puesto que nos pidenla velocidad máxima, en primer lugar será necesario encontrar la
expresión de la velocidad del movimiento. Esta viene dada por la derivada con respecto al
tiempo de la ecuación, es decir:

v=

dx d (0, 05 sen(60π t + ϕ )
=
= 0, 05 ⋅ 60π cos(60π + ϕ )
dt
dt

Para encontrar la velocidad máxima se tiene en cuenta que los valores que puede tomar
la función coseno se mueven entre [-1,1],por lo que la velocidad máxima se obtiene en el
momento en que el coseno vale 1, es decir:

vmax = 0, 05 ⋅ 60π = 3π m / s
Por otra parte, la aceleración de un movimiento armónico simple se calcula mediante la
derivada con respecto al tiempo de la velocidad, es decir:

a=

dv d ( 3π cos(60π t + ϕ )
=
= −60π ⋅ 3π sen(60π + ϕ )
dt
dt

Y al igual que antes, al moverse el seno entre losvalores [-1,1], la aceleración máxima
ocurre cuando el seno toma como valor 1, es decir:

amax = −180π 2 m / s

2

Ejercicio 2
¿Cómo se modifica la energía mecánica de un oscilador en los siguiente casos?
a) Si se duplica la frecuencia.
La expresión de la energía mecánica para un movimiento armónico simple viene dada por
la siguiente expresión:

Em =

12
kA
2

Como se puede ver,la energía mecánica del oscilador depende de la amplitud y de la
constante elástica / recuperadora k, la cual tiene la siguiente expresión:

k = ω 2m
Por tanto, podemos reescribir la ecuación de la energía mecánica de la siguiente forma:

1
Em = ω 2 mA 2
2
Por tanto si se duplica la frecuencia, y teniendo en cuenta que la velocidad angular ω
viene dada por:

ω = 2π f
la velocidadangular se duplicará también, y por tanto la energía mecánica será cuatro
veces más grande:

2ω = 2π (2 f ) → Em =

1
1
m(2ω )2 A 2 = m 4ω 2 A 2 = 4 Em
2
2

b) Si se duplica la masa.
Al igual que antes, partimos de la expresión de la energía mecánica:

1
Em = ω 2 mA 2
2
Si la masa se duplica, la energía mecánica será el doble:

1
Em = ω 2 (2 m ) A 2 = 2 Em
2
c) Si se duplica elperiodo.
La velocidad angular tal y como se dijo antes posee la siguiente expresión:

ω = 2π f =

2π
T

Por tanto si se duplica el periodo, la velocidad angular se verá reducida a la mitad:

ω'=

2π ω
=
2T 2

Y por tanto la expresión de la energía mecánica queda como:
'
Em =

1 ω2 2 1 1 2 2 1
m( ) A = m ω A = Em
22
24
4

Es decir, se ve reducida 4 veces menos.
d) Si seduplica la amplitud.
Finalmente si se duplica la amplitud, la expresión de la energía mecánica queda como:
'
Em =

1
1
mω 2 (2 A)2 = m 4ω 2 A 2 = 4 Em
2
2

Es decir, aumenta en cuatro veces más.
Ejercicio 3
Una partícula vibra con una frecuencia de 5Hz. ¿Cuánto tiempo tardará en desplazarse
desde un extremo hasta la posición de equilibrio?
El periodo de un movimiento armónico simplerepresenta el tiempo que tarda la partícula
en realizar una oscilación completa, es decir:

Por tanto, el tiempo que tarda en desplazarse desde un extremo hasta la posición de
equilibrio será la cuarta parte del periodo, puesto que la posición de equilibrio se alcanza
en el corte de la función con el eje de las x.
Así que, si la partícula vibra con una frecuencia de 5Hz, el movimiento...