fisico matematico

Capitulo 4

Aplicaciones de la derivada

I
I
I

concava hac ia abajo :

~------~~--~~~--~X

En este capitulo

Las derivadas primera y segunda de una funcion f pueden usarse para
determina r la forma de su gratica. Si imagina la gratica de una funcion como una curva que
sube y ba ja, entonces los puntas alto y bajo de la gratica 0, can mas precision, los valores
maximo y minima dela funcion, podemos encontrarlos usando la derivada. Como ya vimos, la
derivada tambien proporciona una razon de cambia. En la seccion 2.7 vimos brevemente que
la razon de cambia can respecto al tiempo t de una funcion que proporciona la posicion de un
objeto en movimiento es la velocidad del objeto.
Encontrar los valores maximo y minima de una funcion junto can el problema de determinarrazones de camb ia son dos de los temas centrales de estudio de este capitulo.
4.1

Movimiento rectilfneo

4.2

Razones de cambio relacionadas

4.3

E
xtremos de funciones

4.4

Teo rema del valor medio

4.5 Otro repaso a los Ifmites: regia de L'H6pital
4.6 GrMicas y la primera derivada
4.7 GrMicas y la segunda derivada
4.8 Optimizaci6n
4.9

Lin ealizaci6n y diferenciales4.10 Metodo de Newton
Revi si6n del capitu lo 4

191

192

CAPITULO 4 Aplicaciones de la derivada

4.1

Movimiento rectilineo

I Introduccion

En la secci6n 2.7 se defini 6 que el movimiento de un objeto en un a linea
recta, hori zontal 0 vertical, es un movimiento rectilineo. Una funci 6n s = set) que propor_
ciona la coordenada del objeto sobre una recta horizontal 0 vertical sedenomina funcion posi.
cion. La variable t representa el tie mpo y el valor de la fun ci6n set) representa una distancia
dirigida, que se mide en centimetros, metros, pies, millas, etc ., a partir de un punto de referenci a s = 0 sobre la recta. Recuerde que sobre una escala hori zontal , consideramos la direcci6n s positiva a la derecha de s = 0, y sobre una escala vertical, la direcci6n sposit iva la
consideramos hacia arriba.

1ij!!§MiQ!.WI

Posici6n de una particuia en movimiento

Un a partlcula se mueve sobre una recta horizontal segun la funci 6n pos ici6n set) = - (2 + 41
+ 3, donde s se mide en centimetros y ten segundos. l,Cmil es la posici6n de la particula a
0, 2 Y 6 segundos?

Solucion

Al sustituir en la funci6n posici6n obtenemos
s(O)

= 3,

= 7,

s(2)= -9.

s(6)

Como se muestra en la FIGURA 4.1.1, s(6) = -9 < 0 significa que la posici6n de la partfcula
esta a la izquierda del punto de referencia s = O.
s(6)
I

•

s(O)
I

I

- 10

I

-s

FIGURA 4.1.1

I Velocidad

I

I

I

I

I

I

I

I

•

s(2)
I

I

0

I

•

I

I

I ,

.\.

10

S

Posicion de lIna partlcula en variosinstantes en el ejemplo I

•

y aceleracion

Si la velocidad media de un cuerpo en movimiento sobre lin
intervalo de tiempo de longitud 6.t es
cambio en posici6n

set

+

6.t) - set)

6.[

cambio en tiempo
entonces la raz6n de cambio instantanea,
vet)

velocidad del cuerpo, esta dada por

0

/

= Li.f-+O
hm

set

+

6.t) - s(t)
A

ut

Asi, tenemos la siguientedefinici6n.

Definicion 4.1.1 Funci6n velocidad
Si set) es una funci6n posici6n de un objeto en movimiento rectilfneo, entonces su funcion
velocidad vet) en el in stante t es
ds
vCt) = dt"
La rapidez del objeto en el instante

t

es Iv(t) I.

La velocidad se mide en centimetros por segundo (cmJs), metros por segundo (mJs), pies
por segundo (pies/s), kil6metros por hora (kmJh) , millaspor hora (mi/h), etcetera.
Tambien es posible ca1cular Ia raz6n de cambio de la velocidad .

Definicion 4.1.2 Funci6n aceleraci6n
Si vet) es la funci6n velocidad de un objeto en movimiento rectilfneo, entonces su funcion
t es

aceleracion aCt) en el instante

a Ct)

= dv = d 2~..
dt

dt -

4.1 Movim iento rectilineo

Las unidades t{picas para medir la aceleraci6n son metros...