Fluidos

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS Mecánica de Fluidos En la descarga de un depósito de área de la base Ad y altura inicial de agua h (0), tales que √ h (0) ∼ Ad , que se descarga a través de un orificio de área de salida As , tal que As ¿ Ad , hay √ dos longitudes características típicas; una de ellas L ∼ h (0) ∼ Ad donde las velocidades son √del orden de la velocidad característica en el depósito, vcd ,; y la otra es ` ∼ As ¿ L, donde la velocidad es del orden de la velocidad de salida, vcs .
pa g

h(t) z As pa

Ad

El orden de magnitud de estas velocidades es muy diferente ya que de la ecuación de la continuidad se tiene µ ¶2 vcd ` 2 2 vcd L ∼ vcs ` ⇒ ∼ ¿ 1. vcs L Los órdenes de magnitud de cada uno de los términos de laecuación de cantidad de cantidad de movimiento para el depósito, cuya longitud característica es L y su velocidad característica es vcd , son ∂~ v ρ + ρ~ · ∇~ = −∇ (P − pa ) + ∇ · τ 0 v v ↓ ∂t ↓ ↓ µvcd
ρ
↓ vcd tc

ρ

v2 cd L

∆d (P −pa ) L

L2

y dividiendo por el orden de magnitud del término convectivo se tiene ρ ∂~ v + ρ~ · ∇~ = −∇ (P − pa ) + v v ∂t ↓ ↓
O(1)
∆d (P −pa ) ρv 2 cd

↓ Lvcd tc

µ ρvcd L

∇ · τ0
↓

=

1 Red

1

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2

donde P = p + ρgz es la presión motriz. El término no estacionario es del orden de L/vcd tc con respecto al término convectivo. Dado que el tiempo característico, tc , es del orden del tiempo de descarga del depósito, tc ∼ td ∼ L/vcd , resulta que L/vcd tc ∼ 1. Tenemos, por tanto, ρ ∂~ v + ρ~ · ∇~ = −∇(P − pa ) + v v ∂t ↓ ↓
↓

O(1)

O(1)

∆d (P −pa ) ρv 2 cd

µ ρvcd L

∇ · τ0
↓

=

1 Red

y, de acuerdo con esto, el término de presiones es del orden del más importante; esto es, es del orden de la unidad si el Reynolds en el depósito es grande frente a la unidad ∆d (P − pa ) 2 ∼ O (1) ; ∆d (P − pa ) ∼ ρvcd si Red À 1, 2 ρvcd y del orden del término viscoso en caso contrario ∆d (P− pa ) 1 ρv 2 ∼ ; ∆d (P − pa ) ∼ cd si Red ¿ 1. 2 ρvcd Red Red Haciendo una estimación similar para la región de salida donde la velocidad característica es vcs y la longitud característica `, se tiene, ρ ∂~ v + ρ~ · ∇~ = −∇ (P − pa ) + ∇ · τ 0 v v ↓ ∂t ↓ ↓ µvcs
↓ c

ρ vtcs

ρ

2 vcs `

∆s (P −pa ) `

`2

y refiriéndolos de nuevo al convectivo se tiene ρ ∂~ v + ρ~ · ∇~ = −∇ (P − pa )+ ∇ · τ 0 v v ↓ ∂t ↓ ↓ µ 1
O(1)
∆s (P −pa ) 2 ρvcs ρvcs `

↓ ` vcs tc

=

Res

El término no estacionario es, con respecto al convectivo en esta región, del orden de µ ¶ ` ` vcd ` L vcd ∼ ∼ , vcs tc L vcd tc vcs L vcs ¡ ` ¢2 L ya que vcd tc ∼ 1. Como vcd ∼ L se tiene vcs ` vcd ∼ ∼ vcs tc L vcs ` µ ¶3 ` ¿ 1, L

de modo que el movimiento es casi estacionario en la región de salida. Porlo tanto, la ecuación de cantidad de movimiento en esta región se reduce a ρ~ · ∇~ = −∇ (P − pa ) + ∇ · τ 0 v v
O(1)
↓ ↓ ∆s (P −pa ) 2 ρvcs µ ρvcs ` ↓

=

1 Res

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Si el número de Reynolds en la región de salida fuese pequeño frente a la unidad, Res ¿ 1, el número de Reynolds en el depósito es también pequeño frente a la unidad ya que µ ¶2 ρvcs ` Lvcd ρvcd L L ` ` Red = = ∼ Res ∼ Res ¿ 1, µ µ ` vcs ` L L ya que es el producto de dos magnitudes pequeñas frente a la unidad. Por lo tanto, cuando el Reynolds en la salida del depósito es pequeño, también lo es el Reynolds en el depósito y se tiene 2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶3 ρvcd ∆d (P − pa ) vcd Res vcd vcs ` vcd ` ` Red ∼ ¿ 1. ∼ ρv2 ∼ ∼ ∼ cs ∆s (P − pa ) vcs Red vcs vcd L vcs L L
Res

Es decir, lasvariaciones espaciales de presión motriz en el depósito son pequeñas comparadas con las que se van a encontrar en la región de salida. Cuando el Reynolds en la salida es grande frente a la unidad, Res À 1, el Reynolds en el depósito puede ser grande o pequeño frente a la unidad, ya que es del orden de un número grande, Res , por uno pequeño, `/L. Cuando el Reynolds en la salida es grande, Res À 1,...