Flujo De Fluidos

5. FLUJO BIDIMENSIONAL DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE

Este capítulo se dedica a discutir los conceptos relacionados con la simulación del flujo en dos direcciones de un fluido incompresible. Inicialmente se presenta el modelo matemático, partiendo de las ecuaciones de flujo. Luego, se plantean las aproximaciones numéricas a estas ecuaciones de flujo. Posteriormente, se presentan algunos esquemasde ordenamiento que facilitan su solución. Por último, se discuten los principales métodos directos e indirectos de solución a las ecuaciones planteadas.

5.1 ECUACIÓN BÁSICA La ecuación de continuidad para flujo en dos direcciones, en coordenadas cartesianas, está dada por la Ecuación 2.56:

 ∂ (αρ U x ) ∂ αρ U y  ∂ (φρ) − + + α~..............................................................(2.56) q =α ∂x ∂y  ∂t  donde:
α = Espesor del sistema, H (x, y ) .

(

)

~ = Cantidad de masa que entra o sale (fuentes o sumideros) por unidad de q volumen del yacimiento por unidad de tiempo. Para un fluido incompresible, se cumple que:

ρ = constante

Simulación de Yacimientos I

1

luego, de la Ecuación 2.56, ~  ∂ (αU x ) ∂ αU y  ∂φ q − +  =α +α ∂y  ∂t ρ  ∂x Si seconsidera que la porosidad es constante:
~  ∂ (αU x ) ∂ αU y  q − +  − α = 0 ............................................................................(5.1) ∂y  ρ  ∂x De la ley de Darcy (Ecuaciones 2.31 y 2.32),

(

)

(

)

Ux = −

k x ∂p ⋅ ..................................................................................................(2.31) µ ∂x k y ∂p ⋅...................................................................................................(2.32) µ ∂y

Uy = −

Además, si q v se define como el volumen de fluido que entra o sale (fuentes o sumideros) por unidad de volumen del yacimiento por unidad de tiempo, entonces: qv = ~ q ................................................................................................................(5.2) ρLlevando las Ecuaciones 2.31, 2.32 y 5.2 a la Ecuación 5.1, se obtiene:
∂  k x ∂p  ∂  k y ∂p  H ⋅  + H ⋅  − Hq v = 0 ............................................................(5.3)  ∂x  µ ∂x  ∂y  µ ∂y    

La Figura 5.1 presenta un sistema bidimensional de J filas por I columnas. Supóngase que se extrae la fila j , tal como se ilustra en la figura 5.2.

Simulación de YacimientosI

2

j=J
M

L

L

M

M

i − 1, j + 1
j= j

i, j + 1

i + 1, j + 1
L

L

i − 1, j i − 1, j − 1

i, j i, j − 1
M

i + 1, j i + 1, j − 1

M
L
j=1

M
L

i=1

i=i

i = I

Fig. – 5.1 – Sistema bidimensional (J filas x I columnas)

j= j

1, j

i − 1, j
∆Xi −1

i, j
∆Xi

i + 1, j
∆Xi +1

I, j

Figura 5.2 Fila “j” de una malla bidimensionalEn este caso, de la Ecuación 4.21 se puede escribir:
 2 Pi, j − Pi −1, j   2 Pi +1, j − Pi, j   k x H   k xH         −    µ   i + 12 , j  ∆x i +1 + ∆x i   µ  i − 12 , j  ∆x i + ∆x i −1   ∆x i

(

)

(

)

∂  k x H ∂p   ⋅  ≅  ∂x  µ ∂x  i 

............(5.4)

Simulación de Yacimientos I

3

Análogamente, si se fija una columna “ i ”, Figura5.3, de la Ecuación 4.18 se tiene:

j=J

J

j+1 j j−1

∆Y
∆Y

j+1 j j−1

∆Y

j= 2 j=1 i= i

2 1

Figura 5.3 Columna “i” de una malla bidimensional

∂  k y H ∂p   ⋅  ≅  ∂y  µ ∂y  i 

 2 Pi, j + 1 − Pi, j   k y H   2 Pi, j − Pi, j −1   k yH       −    µ      i, j + 12  ∆y j + 1 + ∆y j   µ  i, j − 12  ∆y j + ∆y j −1      ∆y j

(

)

()

.............(5.5)

EL CONCEPTO DE TRANSMISIBILIDAD EN FLUJO BIDIMENSIONAL

Al igual que en el caso de flujo lineal, en flujo bidimensional la transmisibilidad está representada por el término que multiplica la caída de presión.

Simulación de Yacimientos I

4

Considérese el sistema bidimensional ilustrado en la Figura 5.4.

j+1

i − 1, j + 1

∆ Y j +1 ∆Y j ∆Y j −1...