Folleto 4

REGRESIÓN LINEAL POR MÍNIMOS CUADRADOS
La dependencia entre dos (o más) variables puede ser tal que se base en una relación funcional (matemática) exacta, como la existente entre la velocidad y la distancia recorrida por un móvil; o puede ser estadística. La dependencia estadística es un tipo de relación entre variables tal que conocidos los valores de la (las) variable (variables)independiente(s) no puede determinarse con exactitud el valor de la variable dependiente, aunque si se puede llegar a determinar un cierto comportamiento (global) de la misma. (Ej. la relación existente entre el peso y la estatura de los individuos de una población es una relación estadística) .
Pues bien, el análisis de la dependencia estadística admite dos planteamientos (aunque íntimamente relacionados):El estudio del grado de dependencia existente entre las variables que queda recogido en la teoría de la correlación.
La determinación de la estructura de dependencia que mejor exprese la relación, lo que es analizado a través de la regresión.
Una vez determinada la estructura de esta dependencia la finalidad última de la regresión es llegar a poder asignar el valor que toma la variable Y en unindividuo del que conocemos que toma un determinado valor para la variable X (para las variablesX1, X2,..., Xn ).
En el caso bidimensional, dadas dos variables X e Y con una distribución conjunta de frecuencias ( xi, yj ,nij ), llamaremos regresión de Y sobre X ( Y/X) a una función que explique la variable Y para cada valor de X, y llamaremos regresión de X sobre Y (X/Y) a una función que nos expliquela variable X para cada valor de Y.(Hay que llamar la atención, como se verá más adelante, que estas dos funciones, en general, no tienen por qué coincidir).
 





MÉTODO DE CUADRADOS MÍNIMOS – REGRESIÓN LINEAL.
Hemos enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (X, Y) junto a las distintas maneras dellevar a cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situaciones en las que existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables X e Y.
Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta a nuestros datos? El método de cuadrados mínimos es un procedimiento general que nos permite responder esta pregunta. Cuando la relación entre lasvariables X e Y es lineal, el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también método de regresión lineal.
Observamos o suponemos una tendencia lineal entre las variables y nos preguntamos sobre cuál es la mejor recta:
 y(x) = a x + b
 Que representa este caso de interés. Es útil definir la función:

Que es una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichospor el modelo lineal a x + b. Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada al origen b son aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son los valores que remplazados en la Ec.(1) minimizan la funciónc2. Ec.(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que hacen uso del cálculo diferencial. Aplicando estas técnicas, el problema de minimización se reduce alde resolver el par de ecuaciones:






promedio de valores de y. promedio de los valores de x
Actualmente, la mayoría de los programas de análisis de datos y planillas de cálculo, realizan el proceso de minimización en forma automática y dan los resultados de los mejores valores de a y b, o sea los valores indicados por las ecuaciones.

Gráfico de datos asociados a un modelo lineal. Lacantidad yi - y(xi)
representa la desviación de cada observación de yi respecto del valor predicho por
el modelo y(x).
El criterio de mínimos cuadrados reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y defina cuál es la mejor recta. En los programas como Excel, se realiza usando la herramienta “regresión lineal” o “ajuste lineal”. Los resultados se aplican en el caso lineal cuando todos los...